Se B é uniforme, mostre que A r = - 1 2 r × B funciona. Ou seja, verifique se ∇ ∙ A = 0 e ∇ × A = B . Esse resultado é único ou existem outras funções com o mesmo divergente e rotacional?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Tomando a divergência, tendo em mente que o campo magnético é uniforme em força e direção (ou seja, um vetor constante), nós temos que:

∇ ∙ A → = - 1 2 ∇ ∙ r × B

Desenvolvendo um pouco mais,

∇ ∙ A → = - 1 2 B → ∙ ∇ × r → - r → ∙ ∇ × B → = 0

Como o vetor posição é irrotacional, agora nós vamos pegar o rotacional:

∇ × A → = - 1 2 ∇ × r → × B →

Desenvolvendo novamente,

∇ × A → = - 1 2 B → ∙ ∇ r → - r → ∙ ∇ B → + r → ∇ ∙ B → - B → ∇ ∙ r →

Como

∇ ∙ r → = 3 ;     B → ∙ ∇ r → = B →

Substituindo os valores,

∇ × A → = - 1 2 B → - 0 + 0 - 3 B → = B →

Provando que este potencial vetorial realmente produz um campo magnético uniforme.

Esta não é uma solução única. Você pode substituir r → com r → + d → , ou qualquer vetor constante d → e o mesmo resultado seria alcançado.

Resposta

Respondido acima!