Enunciado

Usando as equações 2.27 e 2.30, encontre o potencial a uma distância de z acima do centro das distribuições de carga da Figura 2.34. Em cada caso, calcule E = - ∇ V , e compare suas respostas com o problema 2.2a, Exemplo 2.1 e Problema 2.6, respectivamente. Suponha que alteramos a carga do lado direito da Figura 2.34a para - q ; qual será, então, o potencial em P ? Que campo isso surge? Compare sua resposta com o Problema 2.2b, e explique cuidadosamente qualquer discrepância.

Passo 1

Falaaa, tudo belezaa?? Para resolvermos está questão vamos usar as fórmulas ditas pelo enunciado, vou deixá-las abaixo:

                                                          V r = 1 4 π ϵ 0 q r                                         ( 2.26 )

                                                          V r = 1 4 π ϵ 0 ∑ i = 1 n q i r i                                         ( 2.30 )

E para calcularmos o campo elétrico vamos usar E = - ∇ V . Bora lá!!

Passo 2

O potencial elétrico para a Figura 2.34 (a) é dada por:

V = 1 4 π ϵ 0 2 q z 2 + d 2 2

Temos duas cargas, e o r é dado pela raiz do denominador pelas cargas formarem um triângulo retângulo com o ponto analisado!!

Calculando o campo elétrico:

E = - 1 4 π ϵ 0 ∂ ∂ z 2 q z 2 + d 2 2

E = 1 4 π ϵ 0 2 q z z 2 + d 2 2 3 / 2 z ^

O mesmo campo elétrico que encontramos no Problema 2.2a!!

Passo 3

Como neste caso temos uma distribuição linear uniforme de carga, precisamos integrar essa área. E o potencial elétrico é dado por:

V = 1 4 π ϵ 0 ∫ - L L λ z 2 + x 2 d x

V = λ 4 π ϵ 0 ln ⁡ L + z 2 + L 2 - L + z 2 + L 2

Calculando o campo elétrico:

E = - λ 4 π ϵ 0 ∂ ∂ z ln ⁡ L + z 2 + L 2 - L + z 2 + L 2

E = - λ 4 π ϵ 0 z L + z 2 + L 2 z 2 + L 2 - z - L + z 2 + L 2 z 2 + L 2

E = - λ 4 π ϵ 0 z z 2 + L 2 - L + z 2 + L 2 - L - z 2 + L 2 z 2 + L 2 - L 2

E = 2 L λ 4 π ϵ 0 1 z z 2 + L 2   z ^

Mesmo resultado que o livro demonstrou no Exemplo 2.1

Passo 4

Neste ultimo caso também temos uma distribuição de cargas e o ponto acima também forma um triângulo retângulo com a borda do disco. Então, o potencial elétrico é escrito como:

V = 1 4 π ϵ 0 ∫ 0 R σ 2 π r r 2 + z 2 d r

V = σ 2 ϵ 0 R 2 + z 2 - z

Calculando o campo elétrico:

E = - σ 2 ϵ 0 ∂ ∂ z R 2 + z 2 - z

E = σ 2 ϵ 0 1 - z R 2 + z 2 z ^

Por fim, o campo também está em concordância com o Problema 2.6.

Passo 5

Caso a carga no lado direito seja negativa, então, V = 0 . Poderíamos concluir que E = ∇ V = 0 , mas neste caso o campo elétrico aponta na direção de x . Portanto, saber apenas o potencial na direção z não é o suficiente para determinar E .

Resposta

  1. V = 1 4 π ϵ 0 2 q z 2 + d 2 2 e E = 1 4 π ϵ 0 2 q z z 2 + d 2 2 3 / 2 z ^
  2. V = λ 4 π ϵ 0 ln ⁡ L + z 2 + L 2 - L + z 2 + L 2 e E = 2 L λ 4 π ϵ 0 1 z z 2 + L 2   z ^
  3. V = σ 2 ϵ 0 R 2 + z 2 - z e E = σ 2 ϵ 0 1 - z R 2 + z 2 z ^