Usando linearidade, calcule a transformada de Laplace da função cos 2 ⁡ t u ( t )

Passo 1

Antes de começarmos a resolver a transformada, será útil expressar o cosseno ao quadrado em função apenas do cosseno. A formulinha que faz isso é

cos 2 ⁡ t = 1 + c o s ⁡ ( 2 ⋅ t ) 2 = 1 + c o s ⁡ ( 2 t ) 2 = 1 2 + c o s ⁡ ( 2 t ) 2

Passo 2

Das tabelas de transformadas, que serão muito úteis na resolução de questões e que você deve tê-las memorizado, sabemos a transformada de uma constante e do cosseno (talvez, a transformada da constante não esteja tão explícita, mas vai aparecer na função u ( t ) ).

L u t = 1 s  e  L cos ⁡ 2 t = s s 2 + 2 2

Passo 3

Agora, podemos aplicar a propriedade da linearidade:

L sin 2 ⁡ 3 t = 1 2 1 s + 1 2 s s 2 + 4 = 1 2 1 s + s s 2 + 4 = 1 2 s 2 + 4 + s ⋅ s s s 2 + 4

= 1 2 2 s 2 + 4 s s 2 + 4 = 2 2 s 2 + 2 s s 2 + 4

Resposta

L sin 2 ⁡ 3 t = s 2 + 2 s ( s 2 + 4 )