Usando linearidade, calcule a transformada de Laplace da função sinh ⁡ k t u ( t )

Passo 1

A integral envolvendo funções hiperbólicas e exponenciais é bastante laboriosa. Uma maneira de contornar este problema é expressar a função hiperbólica como uma combinação de funções exponenciais. No presente caso,

sinh ⁡ k t = e k t - e - k t 2

Passo 2

Aplicando esta representação do seno hiperbólico na definição da transformada de Laplace, obtemos:

L sinh ⁡ k t = L 1 2 e k t - e - k t = 1 2   ∫ 0 ∞ e k t ⋅ e - s t d t - ∫ 0 ∞ e - k t ⋅ e - s t d t

L sinh ⁡ k t = 1 2 lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 ∞ e k - s t - e - k + s t d t = 1 2 lim A → ∞ ⁡ e k - s t k - s + e - k + s t k + s   t = 0 t = A

L sinh ⁡ k t = 1 2 lim A → ∞ ⁡ e k - s A k - s + e - k + s A k + s - e k - s ⋅ 0 k - s - e - k + s ⋅ 0 k + s        

Passo 3

Considerando que s > k , temos que k - s < 0 e - k + s < 0 . Essa consideração faz com que as duas primeiras frações do limite anterior tendam a zero. Os numeradores das duas frações restantes tendem a 1. Assim, o limite anterior nos fornece:

L sinh ⁡ k t = - 1 2 1 k - s + 1 k + s = - 1 2 k + s + k - s k 2 - s 2

O denominador da última expressão foi obtido através do produto da diferença de dois termos.

Cancelando “s” e “ – s” no numerador e trocando a ordem do denominador para cancelar o sinal negativo, obtemos:

L sinh ⁡ k t = k s 2 - k 2

Resposta

L sinh ⁡ k t = k s 2 - k 2