Enunciado

a) Usando quaisquer meios que possa imaginar (exceto a consulta), encontre o potencial vetorial a uma distância s de um fio reto pelo qual passa uma corrente I . Verifique se ∇ ∙ A = 0 e ∇ × A = B .

b) Encontre o potencial magnético dentro do fio, se ele tem raio R e a corrente está uniformemente distribuída.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - É óbvio que o potencial vetorial é apenas uma função da distância do fio (uma vez que o problema é ϕ e z -independente), e aponta em todos os lugares na direção z (uma vez que a corrente flui nessa direção). Conhecemos o campo magnético do fio, então:

∇ × A → ϕ = μ 0 I 2 π s

Com isso, nós obtemos o seguinte resultado

- ∂ A z ∂ s = μ 0 I 2 π s

Finalmente, temos o seguinte resultado

A → = - μ 0 I 2 π ln ⁡ s a z ^

Onde a é uma constante de proporcionalidade, com isso

∇ ∙ A → = 0

E o produto vetorial

∇ × A → = - ∂ A z ∂ s ϕ ^ = μ 0 I 2 π s ϕ ^ = B →

Passo 2

B - Primeiro precisamos encontrar o campo magnético dentro do fio. Pela lei de Ampere, usando uma espira amperiana de raio s < R :

2 π s B = μ 0 I e n c = μ 0 I s 2 R 2

Com isso, nós temos que

B → = μ 0 2 π s R 2 ϕ ^

Pelo mesmo raciocínio acima, nós obtemos que

- ∂ A z ∂ s = μ 0 2 π s R 2

Com isso, o vetor A →

A → = - μ 0 I 4 π R 2 s 2 - b 2 z ^

Há uma condição em b , e é isso que A → precisa ser contínua na superfície, então:

- μ 0 I 4 π R 2 R 2 - b 2 = - μ 0 I 2 π ln ⁡ R a

Desenvolvendo um pouco mais,

1 - b 2 R 2 = 2 ln ⁡ R a

Usando a = b = R nós temos que 0 = 0 , satisfazendo a continuidade do potencial vetorial. Assim, o potencial vetorial dentro é:

A → = - μ 0 I 4 π R 2 s 2 - R 2 z ^

Resposta

a )   A → = - μ 0 I 2 π ln ⁡ s a z ^

b )   A → = - μ 0 I 4 π R 2 s 2 - R 2 z ^