Usando o teorema da superposição, determine a corrente I L nos circuitos vistos na figura 18.110.

Passo 1

Fala, galera! Bora resolver mais uma questão de circuitos?

Vamos começar pela letra A. Primeiramente, vamos listar as impedâncias do circuito:

Z 1 = j X L = 5   Ω   ፈ   36,87 °

Z 2 = R = 1   Ω   ፈ   0 °

Podemos então aplicar o teorema da superposição. Lembrem-se que quando desligamos uma fonte de tensão, devemos substituí-la por um curto circuito, e ao desligar uma fonte de corrente, devemos inserir um circuito aberto em seu lugar.

Desligando as fontes E 2 e I , teremos Z 1 e Z 2 em série. Logo, basta aplicarmos a lei de Ohm para descobrir a corrente que passa por essas impedâncias:

I L 1 = E 1 Z 1 + Z 2 = 20 V   ፈ 0 ° ( 5   Ω   ፈ   36,87 ° ) + ( 1   Ω   ፈ 0 ° ) = 3,43   A   ፈ - 30,96 °

Desligando as fontes E 1 e I , teremos novamente Z 1 e Z 2 em série. Pela lei de Ohm, temos que:

I L 2 = E 2 Z 1 + Z 2 = 120 V   ፈ 0 ° ( 5   Ω   ፈ   36,87 ° ) + ( 1   Ω   ፈ 0 ° ) = 20,58   A   ፈ - 30,96 °

Por fim, desligando as fontes E 1 e E 2 , teremos Z 1 e Z 2 em paralelo. Note que agora teremos um divisor de corrente:

I L 3 = Z 2 ⋅ I Z 1 + Z 2 = ( 1   Ω   ፈ 0 ° ) ( 0,5 A   ፈ   60 ° ) ( 5   Ω   ፈ   36,87 ° ) + ( 1   Ω   ፈ 0 ° ) = 0,0858   A   ፈ   29,04 °

Prontinho! Somando os resultados das três análises, teremos:

I L = I L 1 + I L 2 + I L 3 = ( 3,43   A   ፈ - 30,96 ° ) + ( 20,58   A   ፈ - 30,96 ) + ( 0,0858   A   ፈ   29,04 ° )

= 17,20   A   ፈ   149,30 °  

Passo 2

Vamos para a letra B? Neste item, temos as seguintes impedâncias:

Z 1 = j X L = 3 Ω     ፈ   90 °

Z 2 = - j X C 2 = 7 Ω     ፈ   - 90 °

Z 3 = - j X C 1 = 6 Ω     ፈ   - 90 °

Z 4 = R = 4 Ω     ፈ   0 °

Inicialmente, vamos desligar a fonte I . Com isso, as impedâncias Z 3 e Z 4 ficam em série e a associação destas fica em paralelo com Z 1 . Olha lá:

Z 5 = ( Z 3 + Z 4 ) | |   Z 1 = ( 6 Ω     ፈ   - 90 ° + 4 Ω     ፈ   0 ° ) | | ( 3 Ω     ፈ   90 ° ) = 4,33 Ω     ፈ   70,56 °

Note que temos um divisor de tensão entre Z 5 e Z 2 . A tensão em Z 5 será dada por:

V Z 5 = E ⋅ Z 5 Z 5 + Z 2 = ( 10 V     ፈ   90 ° ) ( 4,33 Ω     ፈ   70,56 ° ) ( 4,33 Ω     ፈ   70,56 ° ) + ( 7 Ω     ፈ   - 90 ° ) = 13,28 V   ፈ   224,31 °

Pela Lei de Ohm, temos que:

I L 1 = V Z 1 = 13,28 V   ፈ   224,31 ° 3 Ω     ፈ   90 ° = 4,43   A     ፈ   134,31 °

Vamos partir para nossa segunda análise, desligando a fonte E . Neste caso, teremos a seguinte associação de impedâncias:

Z 6 = Z 3 + Z 1 | | Z 2 = ( 6 Ω     ፈ   - 90 ° ) + ( 3 Ω     ፈ   90 ° ) | | ( 7 Ω     ፈ   - 90 ° ) = 0,75 Ω     ፈ   - 90 °

Note que temos um divisor de corrente entre Z 4 e Z 6 . A corrente em Z 6 é dada por:

i Z 6 = Z 4 ⋅ I Z 4 + Z 6 = ( 4 Ω     ፈ   0 ° ) ( 0,6 A     ፈ   120 ° ) ( 4 Ω     ፈ   0 ° ) + ( 0,75 Ω     ፈ   - 90 ° ) = 0,59 A     ፈ   130,62 °

Ou seja, esta corrente passa pela impedância Z 3 e depois se divide entre as impedâncias Z 1 e Z 2 , que caracterizam um divisor de corrente. A corrente em Z 1 é dada por:

I L 2 = Z 2 ⋅ i Z 6 Z 1 + Z 2 = ( 7 Ω     ፈ -   90 ° ) ( 0,59 A     ፈ   130,62 ° ) ( 3 Ω     ፈ   90 ° ) + ( 7 Ω     ፈ   - 90 ° ) = 1,03 A     ፈ   130,62 °

Podemos finalmente somar o resultado das duas análises. Observe que devemos inverter o sinal de I L 2   para respeitar o sentido da corrente, beleza?

I L = I L 1 + I L 2 = 4,43   A     ፈ   134,31 ° - 1,03 A     ፈ   130,62 ° = 3,40   A   ፈ     135,36 °

Resposta

a. 17,20   A   ፈ   149,30 °

b. 3,40   A   ፈ     135,36 °