Usando o teorema da superposição, determine a corrente na indutância X L para os circuitos mostrados na figura 18.109.

Passo 1

E aí, pessoal! De boa? Prontos para mais uma questão?

Vamos começar pela letra A. Antes de tudo, note que teremos as seguintes impedâncias:

Z 1 = R = 3   Ω   ፈ   0 °

Z 2 = j X L = 8   Ω   ፈ   90 °

Z 3 = - j X C = 6   Ω   ፈ - 90 °

Para aplicar o teorema da superposição, primeiro vamos desligar E 2 , obtendo um curto circuito no lugar. Nesse caso, veja que Z 2 e Z 3 ficarão em paralelo! Vamos as contas:

Z 4 = Z 2 | | Z 3 = ( 8   Ω   ፈ   90 ° ) ( 6   Ω   ፈ - 90 ° ) ( 8   Ω   ፈ   90 ° ) + ( 6   Ω   ፈ - 90 ° ) = 24   Ω   ፈ - 90 °

Prontinho! Agora veja que Z 4 e Z 1 estão em série. Logo, a corrente que passa por eles é a mesma! Pela Lei de Ohm, vamos ter:

i = E 1 Z 1 + Z 4 = 30 V   ፈ 30 ° ( 3   Ω   ፈ   0 ° ) + ( 24   Ω   ፈ - 90 ° ) = 1,24   ፈ - 112,875 °

Para descobrir i L 1 , teremos que calcular o divisor de corrente entre Z 2 e Z 3 . Bora lá!

i L 1 = Z 3 ⋅ i Z 2 + Z 3 = ( 6   Ω   ፈ - 90 ° ) ( 1,24   ፈ - 112,875 ° ) ( 8   Ω   ፈ   90 ° ) + ( 6   Ω   ፈ - 90 ° ) = 3,72   A   ፈ - 67,125 °

Passo 2

Agora temos que ligar a fonte E 2 e desligar a fonte E 1 , obtendo um curto circuito no lugar, e repetir a análise. Nesse caso, Z 1 e Z 2 estão em paralelo e esta associação está em série com Z 3 . Novamente vamos usar a lei de Ohm e em seguida um divisor de corrente. Teremos:

Z 5 = Z 1 | | Z 2 = ( 3   Ω   ፈ   0 ° ) ( 8   Ω   ፈ   90 ° ) ( 3   Ω   ፈ   0 ° ) + ( 8   Ω   ፈ 90 ° ) = 2,809   Ω   ፈ   20,556 °

i = E 2 Z 3 + Z 5 = 60 V   ፈ 10 ° ( 6   Ω   ፈ - 90 ° ) + ( 2,809   Ω   ፈ 20,556 ° ) = 10,597   A   ፈ   72,322 °

i L 2 = Z 1 ⋅ i Z 1 + Z 2 = ( 3   Ω   ፈ   0 ° ) ( 10,597   ፈ   72,322 ° ) ( 3   Ω   ፈ   0 ° ) + ( 8   Ω   ፈ 90 ° ) = 3,721   A   ፈ   2,878 °

Somando os resultados da primeira e da segunda análise, teremos:

i L = i L 1 + i L 2 = ( 3,72   A   ፈ - 67,125 ° ) + ( 3,721   A   ፈ   2,878 ° ) = 6,905   A   ፈ   - 32,115 °

Passo 3

Prontos para letra B? Vamos listar as impedâncias deste circuito:

Z 1 = j L = 8   Ω   ፈ   90 °

Z 2 = - j C = 5   Ω   ፈ -   90 °

Show! Agora podemos partir para o teorema da superposição. Vamos começar desligando a fonte E , de modo a obter um curto circuito no lugar. Reparem que a fonte de corrente I está fornecendo uma corrente ao circuito que se divide entre as duas impedâncias. Então de cara vemos que basta resolver um divisor de corrente! Moleza, né?

i L 1 = Z 2 ⋅ I Z 1 + Z 2 = ( 5   Ω   ፈ -   90 ° ) ( 0,3   A   ፈ 60 ° ) ( 8   Ω   ፈ   90 ° ) + ( 5   Ω   ፈ -   90 ° ) = 0,5   A   ፈ - 120 °

Passo 4

Em seguida, devemos ligar a fonte E e desligar a fonte I , de modo a obter um circuito aberto no lugar. Logo, para descobrir i L 2 , devemos apenas usar a Lei de Ohm, já que as impedâncias ficam em série!

i L 2 = E Z 1 + Z 2 = 10   V   ፈ 0 ° ( 8   Ω   ፈ   90 ° ) + ( 5   Ω   ፈ -   90 ° ) = 3,33   A   ፈ - 90 °

Somando os resultados da primeira e da segunda análise, teremos:

i L = i L 1 + i L 2 = ( 0,5   A   ፈ - 120 ° ) + ( 3,33   A   ፈ - 90 ° ) =   3,77   A   ፈ   - 93,8 °

Resposta

a. 6,905   A   ፈ   - 32,115 °

b 3,77   A   ፈ   - 93,8 °