Enunciado

Use a equação 2.29 para calcular o potencial dentro de uma esfera sólida de raio R com densidade de carga uniforme e carga total q . Compare sua resposta ao Problema 2.21.

Passo 1

Falaaa, tudo belezaa?? A equação 2.29 que o enunciado se refere é essa:

V = 1 4 π ϵ 0 ∫ ρ r ' s d r '

O que precisamos fazer agora, então, é definir as variáveis e calcular a integral. Bora lá!!

Passo 2

As variáveis do cálculo podem ser analisadas na imagem abaixo:

Precisamos considerar uma integral esférica, onde:

d r = r 2 s e n   θ   d r   d θ   d ϕ

s = z 2 + r 2 - 2 r z cos ⁡ θ

Sendo assim, nosso potencial elétrico em P é definido por:

V = ρ 4 π ϵ 0 ∫ 0 2 π d ϕ ∫ 0 π s e n   θ z 2 + r 2 - 2 r z cos ⁡ θ d θ

Depois iremos considerar d r .

V = ρ 2 ϵ 0 1 r z r 2 + z 2 - 2 r z cos ⁡ θ π 0

V = ρ 2 ϵ 0 1 r z r 2 + z 2 + 2 r z - r 2 + z 2 - 2 r z

V = ρ 2 ϵ 0 1 r z R + z 2 - R - z 2

Colocando em módulo.

V = ρ 2 ϵ 0 1 r z ( r + z - r - z )

Logo, podemos perceber que quando r > z , o termo dentro da chave é 2 / r e, caso contrário, r < z o termo é 2 / z .

Então, o potencial elétrico, agora considerando a integral em r , é dado por:

V = ρ 2 ϵ 0 . 2 ∫ 0 z 1 z r 2 d r + ∫ z R 1 r r 2 d r

V = ρ 2 ϵ 0 R 2 - z 2 3

Porém, a esfera é maciça e o enunciado nos diz que a densidade é uniforme. Sendo assim, ρ depende do volume.

ρ = q 4 3 π R 3

Substituindo na fórmula do potencial.

V = q 8 π ϵ 0 R 3 - z 2 R 2

Resposta

V = q 8 π ϵ 0 R 3 - z 2 R 2