Use a equação 9.19 para determinar A 3 e δ 3 em termos de A 1   ,   A 2 ,   δ 1 e δ 2 .

Passo 1

Olá pessoal, como primeiro passo, vamos anotar a equação 9.19, que vamos utilizar para resolver esse problema:

A 3 e i δ 3 = A 1 e i δ 1 + A 2 e i δ 2

Para encontrar o A 3 , precisamos eliminar a exponencial que o acompanha, pois A 3 tem que ser expresso em função de A 1   ,   A 2 ,   δ 1 e δ 2 . Para isso, vamos elevar a equação ao quadrado, pois o quadrado de um número complexo é dado por:

e i δ 3 2 = e - i δ 3   e i δ 3 =   1

Assim teremos:

A 3 2 =   ( A 3 e i δ 3 ) ( A 3 e - i δ 3 ) =   ( A 1 e i δ 1 + A 2 e i δ 2 )   ( A 1 e - i δ 1 + A 2 e - i δ 2 )

Agora é só manipulação matemática…

= A 1 2 + A 2 2 +   A 1 A 2 ( e - i δ 1   e i δ 2 + e i δ 1   e - i δ 2 )

= A 1 2 + A 2 2 +   A 1 A 2   2   c o s ( δ 1 - δ 2 )

A 3 =   A 1 2 + A 2 2 +   A 1 A 2   2   c o s ( δ 1 - δ 2 )

Passo 2

Para encontrar o δ 3 não podemos utilizar a mesma tática do passo anterior, então, vamos descrever a exponencial como a soma mostrada abaixo:

A 3 e i δ 3   =   A 3   ( c o s   δ 3 + i   s i n   δ 3 )

Assim, podemos escrever a soma descrita na equação 9.19 como:

A 3   ( c o s   δ 3 + i   s i n   δ 3 ) =   A 1   ( c o s   δ 1 + i   s i n   δ 1 ) + A 2   ( c o s   δ 2 + i   s i n   δ 2 )

Reorganizando as parcelas, de acordo com o conjunto dos reais e dos complexos, temos:

A 3   ( c o s   δ 3 + i   s i n   δ 3 ) = ( A 1 c o s   δ 1 + A 2   c o s   δ 2 ) + i ( A 1   s i n   δ 1 + A 2   s i n   δ 2 )

Assim podemos escrever:

t a n   δ 3 =   A 3 s i n   δ 3 A 3 c o s   δ 3 =   A 1   s i n   δ 1 + A 2   s i n   δ 2 A 1 c o s   δ 1 + A 2   c o s   δ 2

Agora basta isolar o δ 3

δ 3 =   t a n - 1 A 1   s i n   δ 1 + A 2   s i n   δ 2 A 1 c o s   δ 1 + A 2   c o s   δ 2

Resposta

A 3 =   A 1 2 + A 2 2 +   A 1 A 2   2   c o s ( δ 1 - δ 2 )

δ 3 =   t a n - 1 A 1   s i n   δ 1 + A 2   s i n   δ 2 A 1 c o s   δ 1 + A 2   c o s   δ 2