Use a equação representativa e transformadas de Laplace para calcular v , para t > 0 , se

b )   i g = 2 e - t u ( t )   A

Passo 1

E aí, moçada. Vamos começar nossa jornada resolvendo circuitos usando transformadas ao invés de equações características.

Como o circuito não está chaveado e não foram dadas condições iniciais, tudo o que temos que fazer com o circuito é colocá-lo no domínio da frequência:

Passo 2

Fazendo a análise de nós do circuito transformado, temos:

V ( s ) 4 + s + V ( s ) 5 / s = 2 s + 1   ⇒ V ( s ) 4 + s + s V ( s ) 5 = 2 s + 1

⇒   5 s + 1 V s + s 4 + s s + 1 V ( s ) 5 ( 4 + s ) ( s + 1 ) = 2 ⋅ 5 ( 4 + s ) 5 ( 4 + s ) ( s + 1 )

⇒   5 s + 5 + s 4 s + 4 + s 2 + s V s = 10 s + 40

⇒ 5 s + 5 + 4 s 2 + 4 s + s 3 + s 2 V s = 10 s + 40

⇒ V s = 10 s + 40 s 3 + 5 s 2 + 9 s + 5 = 10 s + 40 ( s + 1 ) ( s 2 + 4 s + 5 ) = A s + 1 + B s + C s 2 + 4 s + 5

Passo 3

Calculando os coeficientes, temos:

A = ( s + 1 ) V s s = - 1 = 10 s + 40 s 2 + 4 s + 5 s = - 1 = 10 - 1 + 40 - 1 2 + 4 - 1 + 5 = 40 - 10 1 - 4 + 5 ⇒ A = 15

Para encontrarmos os coeficientes B e C , vamos fazer um algebrismo, usando o fato de que já sabemos o valor de A .

10 s + 40 ( s + 1 ) ( s 2 + 4 s + 5 ) = 15 s 2 + 4 s + 5 + ( B s + C ) ( s + 1 ) ( s + 1 ) ( s 2 + 4 s + 5 )

Como os denominadores são iguais, vamos trabalhar apenas com os numeradores:

10 s + 40 = 15 s 2 + 60 s + 75 + B s 2 + B s + C s + C

⇒ 10 s + 40 = 15 + B s 2 + B + C + 60 s + ( 75 + C )

Esta última equação nos leva ao seguinte sistema:

15 + B = 0 B + C + 60 = 10 75 + C = 40

As soluções podem ser obtidas de apenas 2 equações. A terceira equação servirá como viés de confirmação para sabermos se os nossos coeficientes estão corretos. Assim:

B = - 15   e  C = - 35

Assim,

V s = 15 s + 1 + - 15 s - 35 s 2 + 4 s + 4 + 1 = 15 s + 1 - 15 s s + 2 2 + 1 - 35 s + 2 2 + 1

= 15 s + 1 - 15 s + 2 - 2 s + 2 2 + 1 - 35 s + 2 2 + 1  

∴ V s = 15 s + 1 - 15 s + 2 s + 2 2 + 1 - 5 1 s + 2 2 + 1

Assim,

v t = 15 e - t - 15 e - 2 t cos ⁡ t - 5 e - 2 t sin ⁡ t u ( t )

Ufa! Conseguimos. Vamos pra próxima?

Resposta

v t = 15 e - t - 15 e - 2 t cos ⁡ t - 5 e - 2 t sin ⁡ t u ( t )