Use a lei de Biot-Savart (mais convenientemente na forma 5.39, apropriada para correntes superficiais) para encontrar o campo dentro e fora de um solenóide infinitamente longo de raio R , com n voltas por unidade de comprimento, pelo qual passa uma corrente estacionária I .

Passo 1

Olá pessoal, bora para mais uma!?

Vamos partir da equação 5.39, expressa abaixo:

B r = μ 0 4 π   ∫ K r ' × r ^ r 2 d τ '

Colocando o ponto do campo no eixo x, assim teremos r = ( s , 0,0 ) ,   então:

d a = R d ϕ d z

K = K ϕ ^

Trocando ϕ ^ = - s i n ϕ x ^ + c o s ϕ y ^ e r = s - R c o s ϕ x ^ - R s i n ϕ y ^ - z z ^ .

Agora conseguimos fazer o produto vetorial K × r , assim temos:

K × r ^ = K x ^   y ^   z ^   - s i n ϕ   c o s ϕ   0   s - R c o s ϕ   - R s i n ϕ   - z  

Fazendo o determinante, temos que:

K × r ^ = K [ - z c o s ϕ x ^ + - z s i n ϕ y ^ + R - s c o s ϕ z ^ ]

Temos também que r 2 = z 2 + r 2 + s 2 - 2 R s c o s ϕ . Como temos a componente x e y se integramos elas se anulam. Assim sobra só a componente z.

Passo 2

Agora voltamos na relação principal e vamos integrar a componente que sobrou em K. Assim temos:

B z = μ 0 4 π   K R ∫ R - s c o s ϕ z 2 + r 2 + s 2 - 2 R s c o s ϕ 3 / 2 d ϕ d z

Agora vamos separar d z de d ϕ e colocar os intervalos de integração, assim temos:

B z = μ 0 K R 4 π   ∫ 0 2 π R - s c o s ϕ ∫ - ∞ ∞ d z z 2 + d 2 3 2 d ϕ

Definimos d 2 = r 2 + s 2 - 2 R s c o s ϕ .

Vamos resolver essas integrais separadamente, agora temos que:

∫ - ∞ ∞ d z z 2 + d 2 3 2 = 2 z d 2 z 2 + d 2 1 2 | 0 ∞ = 2 d 2

Agora que temos a solução para d z , podemos voltar na integral geral. Assim:

B z = μ 0 K R 4 π   ∫ 0 2 π R - s c o s ϕ 2 d 2 d ϕ

Substituindo d, temos que:

B z = μ 0 K R 4 π   ∫ 0 2 π R - s c o s ϕ ( r 2 + s 2 - 2 R s c o s ϕ ) d ϕ

Podemos escrever:

R - s c o s ϕ = 1 2 R [ ( R 2 - s 2 ) + ( R 2 + s 2 - 2 R s c o s ϕ ) ]

Com isso, temos que:

B z = μ 0 K R 4 π   ( R 2 - s 2 ) ∫ 0 2 π d ϕ r 2 + s 2 - 2 R s c o s ϕ + ∫ 0 2 π d ϕ      

Podemos associar a primeira integral acima com:

∫ 0 2 π d ϕ a + b c o s ϕ = 2 π a 2 - b 2 1 / 2

Onde a = R 2 + s 2 e b = - 2 R s , com isso temos que:

B z = μ 0 K R 4 π 2 π ( R 2 - s 2 ) R 2 + s 2 2 - 4 R 2 s 2 + 2 π

Como R 2 + s 2 2 = R 4 + 2 R 2 s 2 + s 4 , assim temos:

B z = μ 0 K R 4 π 2 π ( R 2 - s 2 ) R 4 - 2 R 2 s 2 + s 4 1 2 + 2 π

B z = μ 0 K R 4 π 2 π ( R 2 - s 2 ) R 2 - s 2 2 1 2 + 2 π

B z = μ 0 K R 2 ( R 2 - s 2 ) | R 2 - s 2 | + 1

Passo 3

Com s

B z = μ 0 K 2 1 + 1 = μ 0 K

E para s>R, temos que:

B z = μ 0 K 2 - 1 + 1 = 0

Onde K = n I .

Assim finalizamos mais uma! Até a próxima!!

Resposta

B s < R = μ 0 K 2 1 + 1 = μ 0 K

B s > R = μ 0 K 2 - 1 + 1 = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)