Enunciado

Use a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico dentro e fora de uma casca esférica de raio R , que tem uma densidade superficial de carga uniforme σ . Compare sua resposta ao Problema 2.7.

Passo 1

Falaaa, tudo belezaa?? Para acharmos o campo elétrico com a lei de Gauss usamos a fórmula abaixo:

∮ S E . d a = 1 ϵ 0 Q E n

Quer dizer que a integral do campo elétrico em uma superfície fechada é igual a carga envolvida dividida por uma constante. O que precisamos agora é definir a superfície e a carga envolvida. Bora lá!!!

Passo 2

A casca esférica pode ser analisada abaixo:

Nesta primeira parte vamos definir o campo elétrico dentro da casca.

A superfície que estamos analisando é uma esfera. Então, a área de superfície é definida como:

E 4 π r 2 = 1 ϵ 0 Q E n

Como estamos analisando uma superfície onde r < R , a carga envolvida será Q E n = 0 .

E 4 π r 2 = 0

E = 0

Para encontrarmos o campo elétrico com uma análise por fora da esfera, ou seja, r > R . Teremos carga envolvida e o enunciado nos diz que a casca tem uma densidade superficial de carga uniforme. Sendo assim, Q E n = 4 π R 2 σ .

Substituindo os valores:

E 4 π r 2 = 1 ϵ 0 4 π R 2 σ

E = σ R 2 r 2 ϵ 0 r ^

A diferença que acontece na resposta do Problema 2.7 é que agora o vetor está apontando na direção radial e antes o vetor apontava diretamente para um ponto acima da esfera.

Resposta

E = σ R 2 r 2 ϵ 0 r ^