Use o resultado do problema 17.14 para obter a soma

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n^2 + 1) = (pi cosh pi - 1)/(2)

Passo 1

Nessa questão usando o resultado,

f (t) = (2 sinh pi)/(pi) [(1)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) ((- 1)^n)/(n^2 + 1) cos n t - n sin n t]

Para obter a soma,

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n^2 + 1) = (pi cosh pi - 1)/(2)

Aposto que você tá com essa cara né? Hahaha fica tranquilo e vem.

Passo 2

Sabendo que,

f (t) = (2 sinh pi)/(pi) [(1)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) ((- 1)^n)/(n^2 + 1) cos n t - n sin n t]

Devemos nos lembrar que a série converge para,

(1)/(2) [f (pi^*) + f (pi^-)]

Chegando em,

f (t) = (2 sinh t)/(pi) [(1)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) ((- 1)^n)/(n^2 + 1) ( f (pi^*) + f (pi^-) )]

Resposta

f (t) = (2 sinh t)/(pi) [(1)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) ((- 1)^n)/(n^2 + 1) ( f (pi^*) + f (pi^-) )]