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Enunciado

Elétrica - Eletrodinâmica - David J. Griffiths- Ed: 3º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 44

Use o teorema da reciprocidade de Green (Problema 3.43) para resolver os dois problemas a seguir. [Dica: para a distribuição 1, use a situação dada: para a distribuição 2, remova q e coloque um dos condutores em potencial V o . ]

  1. Ambas as placas de um capacitor de placas paralelas estão aterradas e uma carga pontual q é colocada entre elas a uma distância z da placa 1. A separação entre as placas é d. Encontre a carga induzida em cada placa.
  2. Duas cascas condutoras esféricas e concêntricas (de raios a e b) estão aterradas e uma carga pontual q é colocada entre elas (no raio r). Encontre a carga induzida em cada esfera.

Passo 1

Olá pessoal, bora para mais uma!?

Temos a situação 1 como atual e a situação 2 a placa direita está em V a   e a placa da esquerda em V = 0 , sem carga em x. Assim temos:

∫ V 1 ρ 2 d τ = V l 1 Q l 2 + V x 1 Q x 2 + V r 1 Q r 2

Mas como V l 1 = V r 1 = 0   e   Q x 2 = 0   a s s i m   ∫ V 1 ρ 2 d τ = 0 .

∫ V 2 ρ 1 d τ = V l 2 Q l 1 + V x 2 Q x 1 + V r 2 Q r 1

Mas neste caso temos que V l 2 = 0 ,   Q x 1 = q ,   V r 2 = V 0 ,   Q r 1 = Q 2   e   V x 2 = V 0 ( x / d ) .   Assim

0 = V 0 x d q + v 0 Q 2 ,   e   p o r t a n t o :

Q 2 = - q x d

Agora invertendo temos a situação 1 como atual e a situação 2 a placa esquerda está em V a   e a placa da direita em V = 0 , sem carga em x. Assim temos:

∫ V 1 ρ 2 d τ = 0 = ∫ V 2 ρ 1 d τ = V l 2 Q l 1 + V x 2 Q x 1 + V r 2 Q r 1 = V 0 Q 1 + q V x 2 + 0

Mas como temos, V x 2 = V 0 1 - x d ,   a s s i m :

Q 1 = - q 1 - x d

Passo 2

Agora temos que a situação 1 como real, e a situação 2 a placa da direita está em V 0 e a da esquerda está em V = 0   sem carga em x,

∫ V 1 ρ 2 d τ = V a 1 Q a 2 + V r 1 Q r 2 + V b 1 Q b 2

Mas como temos que, V a 1 = V b 1 = 0 ,   Q r 2 = 0 ,   a s s i m   ∫ V 1 ρ 2 d τ = 0  

∫ V 2 ρ 1 d τ = V a 2 Q a 1 + V r 2 Q r 1 + V b 2 Q b 1 = Q a V 0 + q V r 2 + 0

Mas V r 2 é o potência para r na configuração 2: V r = A + B r ,   com V a = V 0 assim A + B a = V 0 ou melhor a A + B = a V 0 , e V b = 0 , assim A + B b = 0 , ou melhor b A + B = 0 , resolvendo este sistema, temos que: V r = a V 0 b - a   b r - 1 ,   e por fim temos:

Q a V 0 + q a V 0 b - a b r - 1 = 0 ; Q a = - q a b - a b r - 1

E assim finalizamos mais uma! Até a próxima!

Resposta

  1. Q 1 = - q 1 - x d , Q 2 = - q x d

  2. Q a V 0 + q a V 0 b - a b r - 1 = 0 ; Q a = - q a b - a b r - 1