Use as transformadas de Laplace para calcular x ( t ) e y ( t ) :

x ' = x + 2 y y ' = 2 x + y

onde x 0 = 2 , y 0 = 0 . [Sugestão: Transforme as duas equações e resolva para as transformadas.]

Passo 1

Chegou a hora de botar pra quebrar nesse sisteminha de equações diferenciais. Nada de correr pra monitoria de cálculo 4, ou EDO (ou qualquer que seja o nome da disciplina na sua faculdade). O que vamos fazer aqui é transformar esse sistema do domínio do tempo para o domínio da frequência e resolver um sistema como se estivéssemos na 6ª série do Ensino Fundamental.

A equação básica que vamos usar é

L f ' t = s F s - f ( 0 )

Assim, para o sistema dado, teríamos:

s X s - x 0 = X s + 2 Y ( s ) s Y s - y 0 = 2 X s + Y ( s ) ⇒ s X s - 2 = X s + 2 Y ( s ) s Y s = 2 X s + Y ( s )

⇒ s + 1 X s - 2 Y s = 2 2 X s + 1 - s Y s = 0

Passo 2

Agora vamos resolver esse sistema usando o método dos determinantes:

Δ = s - 1 - 2 2 1 - s = s - 1 1 - s - 2 ⋅ - 2 = - s 2 + 2 s + 3

= - s 2 - 2 s - 3 ⇒ Δ = - ( s + 1 ) ( s - 3 )

Δ 1 = 2 - 2 0 ( 1 - s ) = 2 - 2 s = - 2 ( s - 1 )

Δ 2 = ( s - 1 ) 2 2 0 = - 2 ⋅ 2 = - 4

Assim,

X s = Δ 1 Δ = - 2 ( s - 1 ) - ( s + 1 ) ( s - 3 ) = 2 ( s - 1 ) ( s + 1 ) ( s - 3 )

Y s = Δ 2 Δ = - 4 - s + 1 s - 3 = 4 ( s + 1 ) ( s - 3 )

Passo 3

Vamos obter a expansão em frações parciais de X ( s ) :

X s = 2 ( s - 1 ) ( s + 1 ) ( s - 3 ) = A s + 1 + B s - 3

A = s + 1 X s s = - 1 = 2 s - 1 s - 3 s = - 1 = 2 ( - 1 - 1 ) - 1 - 3 = 2 ⋅ ( - 2 ) - 4 = - 4 - 4 ⇒ A = 1

B = s - 3 X s s = 3 = 2 s - 1 s + 1 s = 3 = 2 ( 3 - 1 ) 3 + 1 = 2 ⋅ 2 4 = 4 4 ⇒ B = 1

Assim

X s = 1 s + 1 + 1 s - 3

Passo 4

Agora, vamos obter a expansão em frações parciais de Y ( s ) :

Y s = 4 ( s + 1 ) ( s - 3 ) = C ( s + 1 ) + D ( s - 3 )

C = s + 1 Y s s = - 1 = 4 s - 3 s = - 1 = 4 - 1 - 3 = 4 - 4 ⇒ C = - 1

D = s - 3 Y s s = 3 = 4 s + 1 s = 3 = 4 3 + 1 = 4 4 ⇒ D = 1

Assim

Y s = - 1 ( s + 1 ) + 1 ( s - 3 )

Passo 5

Finalmente, vamos usar a transformada de Laplace inversa para encontrar esses valores no domínio do tempo:

x t = [ e - t + e 3 t ] u ( t )

E

y t = - e - t + e 3 t u ( t )

Depois dessa, vou tirar um cochilo... zzzzzzz

Resposta

x t = [ e - t + e 3 t ] u ( t )

y t = - e - t + e 3 t u ( t )