Para o vão infinito (Exemplo 3.3), determine a densidade de carga σ ( y ) da faixa em x = 0 , assumindo que ela é condutora em potencial constante V 0 .

Passo 1

Faala, pessoal! Bora pra mais uma. Primeiramente, a expressão para o potencial dessa configuração é dada por:

V x ,   y = 4 V 0 π   ∑ n = 1,3 , 5 … 1 n   e - n π x a   s e n n π y a

E utilizando a seguinte expressão para a densidade de carga:

σ =   - ϵ 0 ∂ V ∂ n

Passo 2

Aplicando a expressão do potencial na equação da densidade de carga em relação a faixa x = 0, teremos:

σ y = - ϵ 0 ∂ V ∂ n = - ϵ 0 ∂ V ∂ x 4 V 0 π   ∑ 1 n   e - n π x a   s e n n π y a ​   x = 0  

Resolvendo, teremos:

σ y = - ϵ 0 4 V 0 π   ∑ 1 n   - n π a e - n π x a   s e n n π y a ​ x = 0    

σ y = 4 ϵ 0 V 0 π   ∑ n = 1,3 , 5 … s e n n π y a

Passo 3

Poderíamos ter feito também esse problema, utilizando a seguinte expressão para o potencial:

V x , y = 2 V 0 π a r c t g   s e n π y a s e n h π x a

Que é a solução da expressão para o potencial que utilizamos no começo. E aplicando a mesma expressão utilizada antes para a densidade de carga para a faixa x = 0 , teremos:

σ =   - ϵ 0 ∂ V ∂ n = - ϵ 0   2 V 0 π 1 1 + s e n 2 π y a s e n h π x a   ´ s e n π y a s e n h 2 π x a π a cosh ⁡ π x a ​ x = 0    

Arrumando a equação obtida:

=   2 ϵ 0 V 0 π s e n π y a cosh ⁡ π x a s e n 2 π y a + s e n h 2 π x a ​ x = 0  

E por fim, chegamos ao seguinte resultado:

σ = 2 ϵ 0 V 0 a 1 s e n π y a

E aqui finalizamos a questão, galera! Até a próxima, família. 😊

Resposta

σ y = 4 ϵ 0 V 0 π   ∑ n = 1,3 , 5 … s e n n π y a

o u

σ = 2 ϵ 0 V 0 a 1 s e n π y a