Enunciado

a) Verifique as equações 16.6 e 16.7.b) Verifique a Equação 16.8. Sugestão: Use a identidade trigonométrica c o s ⁡ α s e n ⁡ β = 1 2 s e n ⁡ ( α + β ) - 1 2 s e n ⁡ ( α - β ) . c) Verifique a Equação 16.9. Sugestão: Use a identidade trigonométrica s e n ⁡ α s e n ⁡ β = 1 2 c o s ⁡ ( α - β ) - 1 2 c o s ⁡ ( α + β ) . d) Verifique a Equação 16.10. Sugestão: Use a identidade trigonométrica

c o s ⁡ α c o s ⁡ β = 1 2 c o s ⁡ ( α - β ) + 1 2 c o s ⁡ ( α + β )

Passo 1

E aí galera partiu mais uma questão de circuitos elétricos? Então vem comigo 😊

O exercício pede que a gente Verifique as equações 16.6 e 16.7.

[a]  I 6 = ∫ t 0 t 0 + T   s i n ⁡ m ω 0 t d t = - 1 m ω 0 c o s ⁡ m ω 0 t t 0 t 0 + T

= - 1 m ω 0 c o s ⁡ m ω 0 t o + T - c o s ⁡ m ω 0 t o = - 1 m ω 0 c o s ⁡ m ω 0 t o c o s ⁡ m ω 0 T - s i n ⁡ m ω 0 t o s i n ⁡ m ω 0 T - c o s ⁡ m ω 0 t o = - 1 m ω 0 c o s ⁡ m ω 0 t o - 0 - c o s ⁡ m ω 0 t o = 0   for all m

I 7 = ∫ t 0 t 0 + T   c o s ⁡ m ω 0 t o d t = 1 m ω 0 s i n ⁡ m ω 0 t t 0 t 0 + T

= 1 m ω 0 s i n ⁡ m ω 0 t o + T - s i n ⁡ m ω 0 t o = 1 m ω 0 s i n ⁡ m ω 0 t o - s i n ⁡ m ω 0 t o = 0   for all m

Passo 2

[b] I 8 = ∫ t 0 t 0 + T   c o s ⁡ m ω 0 t s i n ⁡ n 0 t d t = 1 2 ∫ t 0 t o + T   s i n ⁡ ( m + n ) ω 0 t - s i n ⁡ ( m - n ) ω 0 t d t Mas ( m + n ) e ( m - n ) são inteiros, portanto de I 6 acima, I 8 = 0 para todo m , n .

Passo 3

[c]  I 9 = ∫ t 0 t 0 + T   s i n ⁡ m ω 0 t s i n ⁡ n ω 0 t d t = 1 2 ∫ t 0 t 0 + T   c o s ⁡ ( m - n ) ω 0 t - c o s ⁡ ( m + n ) ω 0 t d t

Se m≠n, ambas as integrais são zero ( I 7 acima). Se m = n, obtemos

I 9 = 1 2 ∫ t 0 t 0 + T   d t - 1 2 ∫ t 0 t 0 + T   c o s ⁡ 2 m ω 0 t d t = T 2 - 0 = T 2

Passo 4

[d]  I 10 = ∫ t 0 t 0 + T   c o s ⁡ m ω 0 t c o s ⁡ n ω 0 t d t

= 1 2 ∫ t 0 t t + T   c o s ⁡ ( m - n ) ω 0 t + c o s ⁡ ( m + n ) ω 0 t d t

Se m≠n, ambas as integrais são zero ( I 7 acima). Se m = n, obtemos

I 10 = 1 2 ∫ t 0 t 0 + T   d t + 1 2 ∫ t 0 t 0 + T   c o s ⁡ 2 m ω 0 t d t = T 2 + 0 = T 2

Resposta

a. = 1 m ω 0 s i n ⁡ m ω 0 t o - s i n ⁡ m ω 0 t o = 0  

b.   I 9 = 1 2 ∫ t 0 t 0 + T   d t - 1 2 ∫ t 0 t 0 + T   c o s ⁡ 2 m ω 0 t d t = T 2 - 0 = T 2

c.   I 10 = 1 2 ∫ t 0 t 0 + T   d t + 1 2 ∫ t 0 t 0 + T   c o s ⁡ 2 m ω 0 t d t = T 2 + 0 = T 2