1. Verifique se a lei de Gauss ∮ E ∙ d a = 1 ϵ 0 Q i n t é obedecida pelo campo de uma carga pontual em movimento uniforme, integrando sobre uma esfera de raio R centrada na carga.
  2. Encontre o vetor poynting para uma carga em movimento uniforme. (Considere que a carga move-se na direção z à velocidade v, e calcule S no instante em que q passa pela origem.)

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Usando a equação 12.92 dada no livro, temos:

E = 1 4 π ϵ 0   q 1 - v 0 2 c 2 1 - v 0 2 c 2   s e n 2   θ 3 2 1 R 2   R ^

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Introduzindo as coordenadas esféricas e integrando na área:

∫ E ∙ d A = q 1 - v 0 2 c 2 4 π ϵ 0 ∫ R 2 sin ⁡ θ R 2 1 - v 0 2 c 2   s e n 2   θ 3 2   d θ   d ϕ

Sobre o ângulo ϕ , sabemos que vai de 0,2 π , assim:

∫ E ∙ d A = q 1 - v 0 2 c 2 4 π ϵ 0   2 π ∫ sin ⁡ θ 1 - v 0 2 c 2   s e n 2   θ 3 2   d θ  

Façamos cos ⁡ θ = u , logo - sin ⁡ θ = d u e sin 2 ⁡ θ = 1 - u 2

Assim fica:

∫ E ∙ d A = q 1 - v 0 2 c 2 2 ϵ 0   ∫ - d u 1 - v 0 2 c 2   1 - u 2 3 2  

Como o ângulo θ varia de 0 , π então quando θ = 0 → u = 1 e θ = π → u = - 1

Assim:

∫ E ∙ d A = q 1 - v 0 2 c 2 2 ϵ 0   ∫ - 1 1 d u 1 - v 0 2 c 2   1 - u 2 3 2  

∫ E ∙ d A = q 1 - v 0 2 c 2 2 ϵ 0 c v 3 ∫ - 1 1 d u c 2 v 0 2 - 1 + u 2 3 2

O resultado desta integração é:

∫ E * d A = q 1 - v 0 2 c 2 2 ϵ 0 c v 3   u c 2 v 2 - 1 c 2 v 2 - 1 + u 2 - 1 1

Logo:

∫ E * d A = q 1 - v 0 2 c 2 2 ϵ 0 c v 3 v c 3 2 1 - v 2 c 2

∫ E * d A = q ϵ 0               c . q . d  

Passo 3

Para b)

Sabemos que o vetor de Poyting é:

S = 1 μ 0 E × B

Assim, usando a equação 12.111:

B → = μ 0 4 π q v 1 - v 2 c 2 sin ⁡ θ   1 - v 2 c 2 sin 2 ⁡ θ ϕ ^ R 2

Assim:

S = 1 μ 0 1 4 π ϵ 0   q 1 - v 0 2 c 2 1 - v 0 2 c 2   s e n 2   θ 3 2 1 R 2   R ^ × μ 0 4 π q v 1 - v 2 c 2 sin ⁡ θ   1 - v 2 c 2 sin 2 ⁡ θ ϕ ^ R 2

S = 1 μ 0   1 4 π ϵ 0 μ 0 4 π q 2 1 - v 2 c 2 v sin ⁡ θ R 4   1 - v 2 c 2 sin 3 ⁡ θ 3     R ^ × ϕ ^

E na relação do produto vetorial

Se r × θ = ϕ ,   ϕ × r = θ veja que vai sempre completando esse ciclo, e se for inverso teremos negativo, como θ × r = - ϕ e r × ϕ = - θ

Assim:

R ^ × ϕ ^ = - θ ^

Assim:

S = - 1 μ 0   1 4 π ϵ 0 μ 0 4 π q 2 1 - v 2 c 2 v sin ⁡ θ R 4   1 - v 2 c 2 sin 3 ⁡ θ 3     θ ^

∴ S =   -   q 2 16 π 2 ϵ 0 * 1 - v 2 c 2 v sin ⁡ θ R 4 1 - v 2 c 2 sin 2 ⁡ θ 3   θ ^

Resposta

Para b)

S =   -   q 2 16 π 2 ϵ 0 * 1 - v 2 c 2 v sin ⁡ θ R 4 1 - v 2 c 2 sin 2 ⁡ θ 3   θ ^