Verifique os potenciais retardados de um dipolo oscilante (equações 11.12 e 11.17) satisfazem a condição de calibre de Lorentz. Não use a aproximação 3.

Passo 1

Olá pessoal, bora para mais uma!?

Pela equação 11.17, temos que:

A = μ 0 p 0 ω 4 π 1 r sin ⁡ ω t - r c ( cos ⁡ θ r ^ - sin ⁡ θ θ ^ )

Assim:

∇ . A = - μ 0 p 0 ω 4 π 1 r 2 ∂ ∂ r r 2 1 r sin ⁡ ω t - r c cos ⁡ θ + 2 r s i n θ   ∂ ∂ θ - sin 2 ⁡ θ 1 r sin ⁡ ω t - r c      

Agora melhorando um pouco a expressão acima, temos que:

∇ . A = - μ 0 p 0 ω 4 π 1 r 2 sin ⁡ ω t - r c - ω r c cos ⁡ ω t - r c c o s θ - 2 s i n θ c o s θ r 2 s i n θ sin ⁡ ω t - r c

Por fim:

∇ . A = μ 0 ϵ 0 p 0 ω 4 π ϵ 0 1 r 2 sin ⁡ ω t - r c + ω c cos ⁡ ω t - r c cos ⁡ θ  

Passo 2

Enquanto isto, pela equação 11.12, temos:

∂ V ∂ t = p 0 cos ⁡ θ 4 π ϵ 0 r - ω 2 c cos ⁡ ω t - r c - ω r c sin ⁡ ω t - r c

= - p 0 ω 4 π ϵ 0 1 r 2 sin ⁡ ω t - r c + ω r c cos ⁡ ω t - r c cos ⁡ θ

E com isso temos que:

∇ . A = μ 0 ϵ 0 ∂ V ∂ t

Que é justamente o que estávamos esperando. Assim finalizamos mais uma, até a próxima!

Resposta

Deduções nos passos 1 e 2.