(a) Verifique se os resultados dos exercícios 2.4 e 2.5 e do Problema 2.11 são coerentes com a Equação 2.33.

(b) Use a lei de Gauss para encontrar o campo dentro e fora de um tubo cilíndrico oco longo, com uma densidade superficial de carga uniforme σ . Verifique se o resultado é coerente com a Equação 2.33.

(c) Verifique se o resultado do Exemplo 2.7 é coerente com as condições de contorno 2.34 e 2.36.

Passo 1

Faaaala meu povo!! Como vocês estão? Bora lá resolver mais uma questãozinha?

Iniciando o enunciado (a), vamos verificar o exercício 2.4:

E s u p = σ 2 ϵ 0 n ^ ;   E i n f = - σ 2 ϵ 0 n ^   ( n ^   s e m p r e   a p o n t a   p a r a   c i m a )

Calculando a diferença de potencial:

E s u p - E i n f = σ ϵ 0 n ^   , confere com o exercício!

Passo 2

Agora verificaremos o exercício 2.5:

Em cada superfície, E = 0 em um lado e E = σ ϵ 0 no outro, então o Δ E = σ ϵ 0 , também confere com o exercício!

Passo 3

Para fecharmos o (a), falaremos do problema 2.11:

A tensão fora é:

E f o r a = σ R 2 ϵ 0 r 2 r ^ = σ ϵ 0 r ^

A tensão dentro é:

E d e n t r o = 0

Então:

Δ E = σ ϵ 0 r ^ , também confere com o exercício!

Passo 4

Iniciaremos a (b) com uma figura que exemplifica o nosso cálculo:

Fora do cilindro:

∮ E . d a = E 2 π s l = 1 ϵ 0 Q e n c = 1 ϵ 0 2 π R l

E = σ ϵ 0   R s s ^ = σ ϵ 0 s ^ (na superfície)

Passo 5

Agora dentro do cilindro:

Q e n c = 0 , então E = 0 .

Portanto, a diferença de potencial é:

Δ E = σ ϵ 0 s ^ , conforme o exercício 2.11.

Passo 6

Ufa, até que enfim falaremos do enunciado (c).

A tensão fora do cilindro é:

V o u t = R 2 σ ϵ 0 r = R σ ϵ 0   n a   s u p e r f í c i e

A tensão dentro do cilindro é:

V i n = R σ ϵ 0

Então:

V o u t = V i n , confere com o exemplo.

Passo 7

A última condição de contorno que verificaremos é:

δ V o u t δ r = - R 2 σ ϵ 0 r 2 = - σ ϵ 0   ( n a   s u p e r f í c i e )

δ V i n δ r = 0

Então:

δ V o u t δ r - δ V i n δ r = - σ ϵ 0

Também confere com o exercício exemplo.

Prontinho, pessoal!! Bora resolver mais uma questão juntos?

Resposta

(a) Todos conferem com os exercícios.

(b) Δ E = σ ϵ 0 s ^ , confere com o 2.11.

(c) V o u t = V i n   e   δ V o u t δ r - δ V i n δ r = - σ ϵ 0 conferem com o exemplo.