Verifique o teorema fundamental para gradientes, usando T = x 2 + 4 x y + 2 y z 3 , os pontos a = ( 0 ,   0 ,   0 ) , b = ( 1 ,   1 ,   1 ) e os três caminhos da figura 1.28:

  1. 0 ,   0 ,   0 → 1 ,   0 ,   0 → 1 ,   1 ,   0 → ( 1 ,   1 ,   1 ) ;
  2. 0 ,   0 ,   0 → 0 ,   0 ,   1 → 0 ,   1 ,   1 → ( 1 ,   1 ,   1 ) ;
  3. o caminho parabólico z = x 2 ; y = x .

Passo 1

Vamos lá. Temos a seguinte função:

  T = x 2 + 4 x y + 2 y z 3

De acordo com o teorema fundamental, teremos:

T a 0 ,   0 ,   0 = 0 2 + 4 0 0 + 2 0 0 3 = 0

T b 1 ,   1 ,   1 = 1 2 + 4 1 1 + 2 1 1 3 = 7

T b - T a = 7

∇ T = ∂ T ∂ x x ^ + ∂ T ∂ y y ^ + ∂ T ∂ z z ^

∇ T = ( 2 x + 4 y ) x ^ + ( 4 x + 2 z 3 ) y ^ + ( 6 y z 2 ) z ^

Assim teremos:

∇ T d l = ( 2 x + 4 y ) + ( 4 x + 2 z 3 ) y ^ + ( 6 y z 2 ) z ^

Passo 2

Então, para acharmos o rotacional de um gradiente, primeiros encontramos o seu gradiente:

∇ f x ,   y ,   z = f x ,   y ,   z ∂ ∂ x i → + ∂ ∂ y j → + ∂ ∂ z k →

∇ f x ,   y ,   z = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

Agora, encontrando o rotacional desse gradiente, teremos:

∇ × ∇ f x ,   y ,   z = x ^ y ^ z ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y ∂ f ∂ z

∇ × ∇ f x ,   y ,   z = x ^ ∂ 2 f ∂ y ∂ z - ∂ 2 f ∂ y ∂ z + y ^ ∂ 2 f ∂ z ∂ x - ∂ 2 f ∂ z ∂ x + z ^ ∂ 2 f ∂ x ∂ y - ∂ 2 f ∂ x ∂ y

∇ × ∇ f x ,   y ,   z = x ^ ( 0 ) + y ^ ( 0 ) + z ^ ( 0 )

Passo 3

Vamos demonstrar agora para o a função ( b ) do problema 1.11.

f x ,   y ,   z = x 2 y 3 z 4

Primeiro vamos encontrar o gradiente dessa função:

∇ f x ,   y ,   z = x 2 y 3 z 4 ∂ ∂ x i → + ∂ ∂ y j → + ∂ ∂ z k →

∇ f x ,   y ,   z = ∂ x 2 y 3 z 4 ∂ x i → + ∂ x 2 y 3 z 4 ∂ y j → + ∂ x 2 y 3 z 4 ∂ z k →

∇ f x ,   y ,   z = 2 x y 3 z 4 i → + 3 x 2 y 2 z 4 j → + 4 x 2 y 3 z 3 k →

Agora, encontrando o rotacional desse gradiente, teremos:

∇ × ∇ f x ,   y ,   z = x ^ y ^ z ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z 2 x y 3 z 4 3 x 2 y 2 z 4 4 x 2 y 3 z 3

∇ × ∇ f x ,   y ,   z = x ^ ∂ 4 x 2 y 3 z 3 ∂ y - ∂ 3 x 2 y 2 z 4 ∂ z + y ^ ∂ 2 x y 3 z 4 ∂ z - ∂ 4 x 2 y 3 z 3 ∂ x + z ^ ∂ 3 x 2 y 2 z 4 ∂ x - ∂ 2 x y 3 z 4 ∂ y

∇ × ∇ f x ,   y ,   z = x ^ 12 x 2 y 2 z 3 - 12 x 2 y 2 z 3 + y ^ 8 x y 3 z 3 - 8 x y 3 z 3 + z ^ 6 x y 2 z 4 - 6 x y 2 z 4

∇ × ∇ f x ,   y ,   z = x ^ 0 + y ^ 0 + z ^ 0

Resposta

Pronto! Comprovamos que o rotacional de um gradiente é sempre zero, pois se anula. E comprovamos isso com a função ( b ) da questão 1.11.

Qualquer dúvida, manda pra gente!