Verifique o teorema fundamental para gradientes, usando , os pontos , e os três caminhos da figura 1.28:
- ;
- ;
- o caminho parabólico .
Passo 1
Vamos lá. Temos a seguinte função:
De acordo com o teorema fundamental, teremos:
Assim teremos:
Passo 2
Então, para acharmos o rotacional de um gradiente, primeiros encontramos o seu gradiente:
Agora, encontrando o rotacional desse gradiente, teremos:
Passo 3
Vamos demonstrar agora para o a função do problema 1.11.
Primeiro vamos encontrar o gradiente dessa função:
Agora, encontrando o rotacional desse gradiente, teremos:
Resposta
Pronto! Comprovamos que o rotacional de um gradiente é sempre zero, pois se anula. E comprovamos isso com a função da questão 1.11.
Qualquer dúvida, manda pra gente!