Verifique o teorema fundamental para gradientes, usando T = x 2 + 4 x y + 2 y z 3 , os pontos a = ( 0 ,   0 ,   0 ) , b = ( 1 ,   1 ,   1 ) e os três caminhos da figura 1.28:

  1. 0 ,   0 ,   0 → 1 ,   0 ,   0 → 1 ,   1 ,   0 → ( 1 ,   1 ,   1 ) ;
  2. 0 ,   0 ,   0 → 0 ,   0 ,   1 → 0 ,   1 ,   1 → ( 1 ,   1 ,   1 ) ;
  3. o caminho parabólico z = x 2 ; y = x .

Passo 1

Vamos lá. Temos a seguinte função:

  T = x 2 + 4 x y + 2 y z 3

De acordo com o teorema fundamental, teremos:

T a 0 ,   0 ,   0 = 0 2 + 4 0 0 + 2 0 0 3 = 0

T b 1 ,   1 ,   1 = 1 2 + 4 1 1 + 2 1 1 3 = 7

T b - T a = 7

∇ T = ∂ T ∂ x x ^ + ∂ T ∂ y y ^ + ∂ T ∂ z z ^

∇ T = ( 2 x + 4 y ) x ^ + ( 4 x + 2 z 3 ) y ^ + ( 6 y z 2 ) z ^

Assim teremos:

∇ T d l = ( 2 x + 4 y ) d x + ( 4 x + 2 z 3 ) d y + ( 6 y z 2 ) d z

Passo 2

  1. 0 ,   0 ,   0 → 1 ,   0 ,   0 → 1 ,   1 ,   0 → ( 1 ,   1 ,   1 ) ;
  2. Vamos então analisar para cada um dos três segmentos:

    Para 0 ,   0 ,   0 → 1 ,   0 ,   0 :

    x : 0 → 1

    y = z = 0   ,     d y = d z = 0

    ∫ x ∇ T d l = ∫ 0 1 2 x + 4 y d x = ∫ 0 1 2 x + 4 0 d x = ∫ 0 1 2 x d x = x 2 ​ 0 1 = 1

    Para 1 ,   0 ,   0 → 1 ,   1 ,   0 :

    y : 0 → 1

    x = 1   ,   z = 0   ,     d x = d z = 0

    ∫ y ∇ T d l = ∫ 0 1 4 x + 2 z 3 d y = ∫ 0 1 4 1 + 2 0 3 d y = ∫ 0 1 4 d y = 4 ∙ y ​ 0 1 = 4

    Para 1 ,   1 ,   0 → ( 1 ,   1 ,   1 ) :

    z : 0 → 1

    x = y = 1   ,     d x = d y = 0

    ∫ z ∇ T d l = ∫ 0 1 6 y z 2 d z = ∫ 0 1 6 ( 1 ) z 2 d z = 6 ∫ 0 1 z 2 d z = 6 z 3 3 0 1 = 6 1 3 = 2

    Portanto, somando os valores encontrados para os três intervalos, teremos:

    ∫ a b ∇ T d l = 1 + 4 + 2 = 7

    Passo 3

  3. 0 ,   0 ,   0 → 0 ,   0 ,   1 → 0 ,   1 ,   1 → ( 1 ,   1 ,   1 )
  4. Vamos então analisar para cada um dos três segmentos:

    Para 0 ,   0 ,   0 → 0 ,   0 ,   1 :

    z : 0 → 1

    y = x = 0   ,     d y = d x = 0

    ∫ z ∇ T d l = ∫ 0 1 6 y z 2 d z = ∫ 0 1 6 ( 0 ) z 2 d z = ∫ 0 1 0 d z = 0

    Para 0 ,   0 ,   1 → 0 ,   1 ,   1 :

    y : 0 → 1

    z = 1   ,   x = 0   ,     d x = d z = 0

    ∫ y ∇ T d l = ∫ 0 1 4 x + 2 z 3 d y = ∫ 0 1 4 0 + 2 1 3 d y = ∫ 0 1 2 d y = 2 ∙ y ​ 0 1 = 2

    Para 0 ,   1 ,   1 → ( 1 ,   1 ,   1 ) :

    x : 0 → 1

    z = y = 1   ,     d z = d y = 0

    ∫ x ∇ T d l = ∫ 0 1 2 x + 4 y d x = ∫ 0 1 2 x + 4 ( 1 ) d x = 6 ∫ 0 1 ( 2 x + 4 ) d x = 2 x 2 2 0 1 + 4 x 0 1 = 5

    Portanto, somando os valores encontrados para os três intervalos, teremos:

    ∫ a b ∇ T d l = 0 + 2 + 5 = 7

    Passo 4

  5. o caminho parabólico z = x 2 ; y = x

∇ T d l = ( 2 x + 4 y ) d x + ( 4 x + 2 z 3 ) d y + ( 6 y z 2 ) d z

Para esse caso, teremos:

x : 0 → 1

y = x   ,     z = x 2

d y = d x   ,     d z = 2 x d x

Então, parametrizando nossa função:

∇ T d l = ( 2 x + 4 x ) d x + ( 4 x + 2 x 2 3 ) d x + 6 x x 2 2 2 x d x

∇ T d l = 6 x d x + 4 x + 2 x 6 d x + 12 x 6 d x

∇ T d l = 14 x 6 + 10 x d x

Então:

∫ 0 1 ∇ T d l = ∫ 0 1 ( 14 x 6 + 10 x ) d x = 14 x 7 7 + 10 x 2 2 0 1 = 2 1 7 + 5 1 2 = 7

Resposta

Pronto! Como podemos ver, independente do caminho, encontraremos o mesmo valor, se tivermos os mesmos pontos de partida e de chegada.

Ficou claro?