Enunciado

Verifique o teorema de Stokes para a função v = x y   x ^ + 2 y z   y ^ + 3 z x   z ^ usando a área triangular sombreada da figura 1.34.

Passo 1

Vamos lá. Temos a seguinte função:

  v = x y   x ^ + 2 y z   y ^ + 3 z x   z ^

De acordo com o teorema de Stokes, temos:

∫ v ∇ × v d a = ∳ p v ∙ d l

Então, temos que:

∇ × v = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x y 2 y z 3 z x

∇ × v = ∂ ∂ y 3 z x - ∂ ∂ z 2 y z i ^ + ∂ ∂ z x y - ∂ ∂ x 3 z x j ^ + ∂ ∂ x 2 y z - ∂ ∂ y x y k ^

∇ × v = 0 - 2 y i ^ + 0 - 3 z j ^ + 0 - x k ^

∇ × v = - 2 y i ^ + - 3 z j ^ + - x k ^

Considerando a volta no sentido anti-horário, teremos:

d a = d y d z   z ^

z : 0 → 2

y : 0 → 2 - z

Então:

∫ v ∇ × v d a = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - z - 2 y d y d z

∫ v ∇ × v d a = ∫ 0 2 - 2 y 2 2 0 2 - z d z

∫ v ∇ × v d a = ∫ 0 2 - 2 - z 2 d z

∫ v ∇ × v d a = ∫ 0 2 - 4 - 4 z + z 2 d z

∫ v ∇ × v d a = ∫ 0 2 - 4 + 4 z - z 2 d z

∫ v ∇ × v d a = - 4 z 0 2 + 4 z 2 2 0 2 - z 3 3 0 2

∫ v ∇ × v d a = - 8 + 8 - 8 3 = - 8 3

Passo 2

Para a integral de linha, vamos considerar três segmentos:

v = x y x ^ + 2 y z y ^ + 3 z x z ^

Para ( i ) :

y : 0 → 2

x = z = 0   ,     d x = d z = 0

∳ v ∙ d l = ∫ 0 2 2 y z d y = ∫ 0 2 2 ∙ y ∙ 0 d y = 0

Para ( i i ) :

y : 2 → 0

x = 0   ,     z = 2 - y    

d x = 0   ,     d x = - d y

∳ v ∙ d l = ∫ 2 0 2 y z d y = - ∫ 0 2 2 y 2 - y d y

∳ v ∙ d l = - ∫ 0 2 4 y - 2 y 2 d y

∳ v ∙ d l = - 4 y 2 0 2 2 - 2 y 3 0 2 3 = - 8 + 16 3 = - 8 3

Para ( i i i ) :

z :   2 → 0

x = y = 0   ,     z = 2 - y    

d x = d y = 0  

∳ v ∙ d l = ∫ 2 0 3 z x d z = ∫ 2 0 3 z ∙ 0 d z = 0

Então, somando o resultado das três integrais temos:

∳ v ∙ d l = 0 + - 8 3 + 0 = - 8 3

Resposta

Assim verificamos então o teorema de Stokes para a função v = x y x ^ + 2 y z y ^ + 3 z x z ^ usando a área dada.

Ficou claro? Espero que sim! xD