Verifique o teorema de Stokes para a função v = y   z ^ , usando a superfície triangular mostrada na Figura 1.51. [Resposta: a 2 ]

Passo 1

Falaaaa, meu querido/ minha querida!! Para este exercício precisamos verificar o seguinte teorema:

∫ ∫ S ( ∇ × v ) ∙ d S = ∮ v . d l

Então, calcular a integral do rotacional de v em uma superfície aberta e verificar se achamos o mesmo resultado para a integral de contorno. Bora lá!!

Passo 2

Vamos trabalhar primeiro com o lado esquerdo da igualdade. Calculando o rotacional de v .

∇ × v = x ^ y ^ z ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z 0 0 y

= ∂ ∂ y ( y ) x ^

∇ × v = x ^

Então, a integral de na superfície aberta da figura fica:

∫ ∫ S ( ∇ × v ) ∙ d S = ∫ 0 a ∫ 0 2 a - 2 x ( 1 ) d y d x

= ∫ 0 a ( 2 a - 2 x ) d x

= a 2

Passo 3

Parametrizando a figura, onde a reta de baixo é L 1 , a da direita L 2 e a da esquerda L 3 , achamos:

0 ,   0 ,   2 → 0 ,   0 ,   0 : l 1 t = 0 ,   0 ,   2 - t

0 ,   0 ,   0 → 0 ,   1 ,   0 : l 2 t = 0 ,   t ,   0

0 ,   1 ,   0 → 0 ,   0 ,   2 : l 3 t = 0 ,   1 - t ,   2 t

Portanto, o lado direito do teorema de Stokes fica:

∮ v . d l = ∫ L 1 v ∙ d l + ∫ L 2 v ∙ d l + ∫ L 3 v ∙ d l

= ∫ 0 a 0 ,   0 ,   2 t ∙ - 1 ,   2 ,   0 d t + ∫ 0 a 0 ,   0 ,   2 a - 2 t ∙ 0 ,   - 2 ,   1 d t + ∫ 0 a 0 ,   0 ,   0 ∙ 1 ,   0 ,   - 1 d t

= ∫ 0 a ( 0 ) d t + ∫ 0 a ( 2 a - 2 t ) d t + ∫ 0 a ( 0 ) d t

= a 2

Logo, achamos o mesmo resultado dos dois lados, então, verificamos o teorema de Stokes!!!

Resposta

a 2