Enunciado

Se r = x a x + y a y + z a z , é o vetor posição do ponto (x, y, z) e r = r , qual das seguintes igualdades é incorreta?

  1. ∇ r = r / r
  2. ∇ ⋅ r = 1
  3. ∇ 2 r ⋅ r = 6
  4. ∇ × r = 0

Passo 1

Falaaa ai galera, bora lá??

Considere o vetor posição r do ponto (x, y, z).

r = x a x + y a y + z a z

  1. Escreva a fórmula para o gradiente do vetor r
  2. g r a d   r = ∇ r

    ∂ r ∂ x a x + ∂ r ∂ y a y + ∂ r ∂ z a z

    Determinaremos a magnitude do vetor r .

    r = | r |

    = x 2 + y 2 + z 2

    Determinaremos o gradiente ∇ r

    ∇ r = ∂ r ∂ x a x + ∂ r ∂ y a y + ∂ r ∂ z a z

    = ∂ ∂ x x 2 + y 2 + z 2 a x + ∂ ∂ y x 2 + y 2 + z 2 a y + ∂ ∂ z ( x 2 + y 2 + z 2 ) a z

    = 2 x × 1 2 x 2 + y 2 + z 2 a x + 2 y × 1 2 x 2 + y 2 + z 2 a y + 2 z × 1 2 x 2 + y 2 + z 2 a z

    = x x 2 + y 2 + z 2 a x + y x 2 + y 2 + z 2 a y + z x 2 + y 2 + z 2 a z

    = x a x + y a y + z a z x 2 + y 2 + z 2

    Substituindo r por x a x + y a y + z a z , e r por x 2 + y 2 + z 2 .

    ∇ r = r / r

    Logo podemos concluir que essa opção está correta.

    Passo 2

  3. Escreva a fórmula para ∇ ⋅ r
  4. d i v   r = ∇ ⋅ r

    = ∂ r x ∂ x + ∂ r y ∂ y + ∂ r z ∂ z

    Substitua x por r x , y por r y ,   z por r z

    ∇ ⋅ r = ∂ ( x ) ∂ x + ∂ ( y ) ∂ y + ∂ ( z ) ∂ z

    ∇ ⋅ r = 1 + 1 + 1

    ∇ ⋅ r = 3

    Como a opção b e ∇ ⋅ r = 1 podemos concluir com base na explicação que está informação está incorreta.

    Passo 3

  5. Determinaremos o produto escalar do vetor r ⋅ r
  6. r ⋅ r = x a x + y a y + z a z ⋅ ( x a x + y a y + z a z )

    r ⋅ r = x 2 + y 2 + z 2

    Determinaremos ∇ 2 ( r ⋅ r )

    ∇ 2 r ⋅ r = ∂ 2 ∂ x 2 x 2 + y 2 + z 2 + ∂ 2 ∂ y 2 x 2 + y 2 + z 2 + ∂ 2 ∂ z 2 x 2 + y 2 + z 2

    ∇ 2 r ⋅ r = 2 + 2 + 2

    ∇ 2 r ⋅ r = 6

    Logo podemos concluir que essa opção está correta.

    Passo 4

  7. Determinaremos ∇ × r .

∇ × r = a x a y a z ∂ / ∂ x ∂ / ∂ y ∂ / ∂ z x y z

∇ × r = ∂ z ∂ y - ∂ y ∂ z a x - ∂ z ∂ x - ∂ x ∂ z a y + ∂ y ∂ x - ∂ x ∂ y a z

= 0

Portanto, podemos perceber que essa opção está correta também.

Resposta

Logo, podemos concluir que a opção que e a incorreta e a letra (b).

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