(a) Qual dos vetores do Problema 1.15 pode ser expresso como o gradiente de um escalar? Encontre uma função escalar que seja a solução.
(b) Qual deles pode ser expresso como o rotacional de um vetor? Encontre esse vetor.
Passo 1
Falaaa, meu querido/minha querida. Tudo bemm?? Pelo Problema 1.15 nós encontramos que e no Problema 1.18 .
Isso quer dizer que pode ser escrito como um gradiente escalar e como o rotacional de um vetor. Então, bora lá fazer isso!!
Passo 2
Para escrever como um gradiente escalar, primeiro vamos derivar parcialmente em cada direção.
Usando (1) e (3), encontramos:
Onde e . Sendo assim:
Substituindo a derivada parcial de em que encontramos acima, temos que:
Portanto, nosso gradiente escalar é:
Passo 3
Primeiro passo para encontrarmos o vetor é organizar os valores.
Considerando que .
Integrando em relação a dos dois lados.
Substituindo os valores e derivando parcialmente na equação abaixo:
Então, podemos escolher que e . E o nosso vetor fica: