(a) Qual dos vetores do Problema 1.15 pode ser expresso como o gradiente de um escalar? Encontre uma função escalar que seja a solução.

(b) Qual deles pode ser expresso como o rotacional de um vetor? Encontre esse vetor.

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Tudo bemm?? Pelo Problema 1.15 nós encontramos que ∇ . v a = 0 e no Problema 1.18 ∇ × v c = 0 .

Isso quer dizer que v c pode ser escrito como um gradiente escalar e v a como o rotacional de um vetor. Então, bora lá fazer isso!!

Passo 2

Para escrever v c como um gradiente escalar, primeiro vamos derivar parcialmente em cada direção.

∂ t ∂ x = y 2

∂ t ��� y = 2 x y + z 2

∂ t ∂ z = 2 y z

Usando (1) e (3), encontramos:

∂ f ∂ x = 2 y x

Onde f = y z 2 + g ( y ) e t = y 2 x + y z 2 + g ( y ) . Sendo assim:

∂ t ∂ y = 2 x y + z 2 + ∂ g ∂ y

Substituindo a derivada parcial de t em y que encontramos acima, temos que:

∂ g ∂ y = 0

Portanto, nosso gradiente escalar é:

t = y 2 x + y z 2

Passo 3

Primeiro passo para encontrarmos o vetor é organizar os valores.

∂ W z ∂ y - ∂ W y ∂ z = x 2

∂ W x ∂ z - ∂ W z ∂ x = 3 z 2 x

∂ W y ∂ x - ∂ W x ∂ y = - 2 x z

Considerando que W x = 0 .

∂ W z ∂ x = - 3 z 2 x

∂ W y ∂ x = - 2 x z

Integrando em relação a x dos dois lados.

W z = - 3 2 x 2 z 2 + f ( y ,   z )

W y = - x 2 z + g ( y ,   z )

Substituindo os valores e derivando parcialmente na equação abaixo:

∂ W z ∂ y - ∂ W y ∂ z = x 2

∂ f ∂ y + x 2 - ∂ g ∂ z = x 2

∂ f ∂ y - ∂ g ∂ z = 0

Então, podemos escolher que f = 0 e g = 0 . E o nosso vetor fica:

W = - x 2 z   y ^ - 3 2 x 2 z 2   z ^

Resposta

  1. t = y 2 x + y z 2
  2. W = - x 2 z   y ^ - 3 2 x 2 z 2   z ^