Às vezes, é possível usar simetrias para determinar os coeficientes de Fourier, ainda que a função original não seja simétrica! Com isso em mente, considere a função do Problema para Avaliação 16.1. Observe que v ( t ) pode ser dividida nas duas funções da Figura P16.17(a) e (b). Além do mais, podemos transformar v 2 ( t ) em uma função par deslocando-a T/6 unidades para a direita, o que é mostrado na Figura P16.17(c). Nesse ponto, observamos que v ( t ) = v 1 ( t ) + v 2 ( t ) e que a série de Fourier de v 1 ( t ) é uma série de um único termo, V m . Para determinar a série de Fourier de v 2 ( t ) , em primeiro lugar, determinamos a série de Fourier de v 2 ( t - T / 6 ) e, então, deslocamos essa série T/6 unidades para a esquerda. Use a técnica que acabamos de descrever para verificar a série de Fourier dada como resposta ao Problema para Avaliação 16.2(e).

Passo 1

Deixe f ( t ) = v 2 ( t - T / 6 )

a v = - 2 V m / 3 ( T / 3 ) ( 1 / T ) = - 2 V m / 9   and   b k = 0   uma vez f ( t ) é par

a k = 4 T ∫ 0 T / 6   - 2 V m 3 c o s ⁡ k ω o t d t = - 4 T 2 V m 3 1 k ω o s i n ⁡ k ω o t 0 T / 6

= - 8 V m 3 k 2 π s i n ⁡ k π 3 = - 4 V m 3 k π s i n ⁡ k π 3

Portanto v 2 ( t - T / 6 ) = - 2 V m 9 - 4 V m 3 π ∑ n = 1 ∞   1 n s i n ⁡ n π 3 c o s ⁡ n ω o t

e v 2 ( t ) = - 2 V m 9 - 4 V m 3 π ∑ n = 1 ∞   1 n s i n ⁡ n π 3 c o s ⁡ n ω o ( t + T / 6 ) Por isso, v ( t ) = v 1 ( t ) + v 2 ( t ) . Simplificando,

v ( t ) = 7 V m 9 - 4 V m 3 π ∑ n = 1 ∞   1 n s i n ⁡ n π 3 c o s ⁡ n π 3 c o s ⁡ n ω o t

+ 4 V m 3 π ∑ n = 1 ∞   1 n sin 2 ⁡ n π 3 s i n ⁡ n ω o t V

Passo 2

Se V m = 9 π  then  a v = 7 π = 21.99  (Checks)

a k = - 12 n s i n ⁡ n π 3 c o s ⁡ n π 3 = - 12 n 1 2 s i n ⁡ 2 n π 3 = 6 n s i n ⁡ 4 n π 3 b k = 12 n s i n 2 ⁡ n π 3 = 12 n 1 2 1 - c o s ⁡ 2 n π 3 = 6 n 1 - c o s ⁡ 4 n π 3 a 1 = 6 s i n ⁡ ( 4 π / 3 ) = - 5.2 ;   b 1 = 6 [ 1 - c o s ⁡ ( 4 π / 3 ) ] = 9 a 2 = 3 s i n ⁡ ( 8 π / 3 ) = 2.6 ;   b 2 = 3 [ 1 - c o s ⁡ ( 8 π / 3 ) ] = 4.5 a 3 = 2 s i n ⁡ ( 12 π / 3 ) = 0 ;   b b 3 = 2 [ 1 - c o s ⁡ ( 12 π / 3 ) ] = 0 a 4 = 1.5 s i n ⁡ ( 16 π / 3 ) = - 1.3 ;   b 4 = 1.5 [ 1 - c o s ⁡ ( 16 π / 3 ) ] = 2.25 a 5 = 1.2 s i n ⁡ ( 20 π / 3 ) = 1.04 ;   b 5 = 1.2 [ 1 - c o s ⁡ ( 20 π / 3 ) ] = 1.8

Todos os coeficiente são verificados

Resposta

Todos os coeficiente são verificados