With reference to the circuit of Fig. 9.39, let i(0) = 40 A and = 40 V. If L = 12.5 mH, R = 0.1 , and C = 0.2 F:
a) find , and
b) sketch i for 0
Passo 1
a) Fala, pessoal! Mais uma questãozinha de circuitos RLC pra gente tirar de letra. Para encontrar a expressão de vamos primeiramente calcular as frequências :
A frequência de neper será dada por:
A frequência natural não amortecida será dada por:
Agora calcularemos as raízes da equação característica que serão dadas por:
Aplicando os valores teremos:
Como temos duas raízes reais distintas a expressão para a tensão será da seguinte forma:
Agora temos que calcular o valor das constantes A1 e A2 com base nas condições iniciais fornecidas no enunciado. A primeira relação que podemos tirar é que:
Se , então:
Logo:
Lembrando também que podemos manipular a equação do circuito de segunda ordem para chegar na seguinte expressão para :
E aplicando as condições dadas no enunciado para t=0 chegaremos em:
Agora derivaremos (1) e igualaremos ao resultado obtido anteriormente:
Podemos então montar um sistema com as equações (2) e (3):
Resolvendo o sistema:
E finalmente substituindo o valor das constantes na expressão da tensão, teremos:
Passo 2
b) Para chegar a expressão de i(t) (corrente no indutor), podemos aplicar a LKC ao nó superior do circuito para chegar a seguinte equação:
Substituindo e sua derivada na expressão e aplicando os valores de R e C teremos:
Simplificando, teremos:
E aqui finalizamos a questão, galera! 😉
Resposta
a)
b)