With reference to the circuit of Fig. 9.39, let i(0) = 40 A and v ( 0 ) = 40 V. If L = 12.5 mH, R = 0.1 Ω , and C = 0.2 F:

a) find v ( t ) , and

b) sketch i for 0

Passo 1

a) Fala, pessoal! Mais uma questãozinha de circuitos RLC pra gente tirar de letra. Para encontrar a expressão de v ( t ) vamos primeiramente calcular as frequências α   e   ω 0 :

A frequência de neper α será dada por:

α = 1 2 R C = 1 2 × 0.1 × 0.2 = 25

A frequência natural não amortecida ω 0 será dada por:

ω 0 = 1 L C = 1 12.5 × 10 - 3 × 0.2 = 400

Agora calcularemos as raízes da equação característica que serão dadas por:

S 1,2 =   - α ± α 2 - ω 0 2

Aplicando os valores teremos:

S 1 =   10

S 2 =   - 40

Como temos duas raízes reais distintas a expressão para a tensão v ( t ) será da seguinte forma:

v t = A 1 e - 10 t + A 2 e - 40 t               ( 1 )

Agora temos que calcular o valor das constantes A1 e A2 com base nas condições iniciais fornecidas no enunciado. A primeira relação que podemos tirar é que:

Se v 0 = 40   V , então:

v 0 = A 1 e - 10 × 0 + A 2 e - 40 × 0 = 40

Logo:

A 1 + A 2 = 40                   ( 2 )

Lembrando também que podemos manipular a equação do circuito de segunda ordem para chegar na seguinte expressão para d v / d t :

d v d t = 1 C i 0 - v 0 R  

E aplicando as condições dadas no enunciado para t=0 chegaremos em:

d v d t = 1 0.2 40 - 40 0.1 =   - 2200

Agora derivaremos (1) e igualaremos ao resultado obtido anteriormente:

- 10 A 1 - 40 A 2 =   - 2220           ( 3 )

Podemos então montar um sistema com as equações (2) e (3):

A 1 + A 2 = 40                   ( 2 )

- 10 A 1 - 40 A 2 =   - 2220           ( 3 )

Resolvendo o sistema:

A 1 =   - 20                           e                             A 2 = 60

E finalmente substituindo o valor das constantes na expressão da tensão, teremos:

v t = - 20 e - 10 t + 60 e - 40 t     V         p a r a   t > 0

Passo 2

b) Para chegar a expressão de i(t) (corrente no indutor), podemos aplicar a LKC ao nó superior do circuito para chegar a seguinte equação:

i t = - i R t - i L t = - v R - C d v d t

Substituindo v ( t ) e sua derivada na expressão e aplicando os valores de R e C teremos:

i t = 200 e - 10 t - 600 e - 40 t - 0.2 × - 20 × - 10 e - 10 t - 0.2 × 60 × - 40 e - 40 t

Simplificando, teremos:

i t = 160 e - 10 t - 120 e - 40 t   A

E aqui finalizamos a questão, galera! 😉

Resposta

a) v t = - 20 e - 10 t + 60 e - 40 t     V         p a r a   t > 0

b) i t = 160 e - 10 t - 120 e - 40 t   A