Exercícios Resolvidos de Escalas de Temperatura e Lei Zero

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Enunciado

A massa específica da água líquida é calculada por:

ρ   =   1008   – T 2   k g m 3

sendo T a temperatura da água em ° C . Se a temperatura se eleva em 10   ° C , qual é a elevação da espessura de uma lâmina de água de 1   m ? Considere que a água estava à temperatura ambiente 25   ° C antes do seu aquecimento.

Passo 1

O exercício quer saber a variação da altura do filme de água Δ L depois que ele aumenta 10   ° C de temperatura. Para facilitar nossa vida, podemos visualizar o problema de acordo com a imagem abaixo.

Ou seja, podemos considerar que o volume do filme de água aumenta sem aumentar a área da sua base. Em outras palavras, apenas a sua altura varia com essa expansão.

Para conectar as informações dadas, calculamos a variação relativa de volume do filme Δ V de duas formas e depois igualar os resultados encontrados pelos dois caminhos.

Pela primeira forma, nós vamos calcular geometricamente, considerando o volume igual à área da base do filme multiplicada pela sua altura.

Δ V = V 2 - V 1 V 1 ⟹ A ⋅ L 2 - A ⋅ L 1 A ⋅ L 1 ⟹ L 2 - L 1 L 1 ⟹ Δ L L 1

onde:

  • Δ V é a variação do volume de água;
  • V 1 é o volume de água, quando ela está a 25   ° C ;
  • V 2 é o volume de água, quando ela está a 35   ° C ;
  • L 1 é a altura do filme de água, quando ela está a 25   ° C . O enunciado diz que ela vale 1   m ;
  • L 2 é a altura do filme de água, quando ela está a 35   ° C ;
  • Δ V é a variação da altura do filme de água. Essa é a incógnita do problema.
  • A é a área do filme de água.

A segunda forma de calcular a variação relativa de volume será o nosso próximo passo.

Passo 2

Pela segunda forma, vamos calcular termodinamicamente, considerando o volume como a divisão entre a massa da água e a sua massa específica. Temos que lembrar também que a massa de água m não se altera durante sua expansão.

Δ V = V 2 - V 1 V 1 ⟹ m ρ 2 - m ρ 1 m ρ 1 ⟹ 1 ρ 2 - 1 ρ 1 1 ρ 1 ⟹ ρ 1 - ρ 2 ρ 2

onde:

  • ρ 1 , a massa específica da água, quando ela está a 25   ° C ;
  • ρ 2 , a massa específica d aágua, quando ela está a 35   ° C ;
  • m , a massa de água.

Depois de igualar as duas equações de variação relativa de volume do filme e reorganizar a fórmula, encontramos uma expressão para a variação de altura Δ L .

Δ L L 1 = ρ 1 - ρ 2 ρ 2 ⟹ Δ L = ρ 1 - ρ 2 ρ 2 ⋅ L 1

As massas específicas são dadas indiretamente pelo enunciado a partir das equações:

ρ 1   =   1008   – T 1 2

ρ 2   =   1008   – T 2 2

onde:

  • T 1 é a temperatura da água antes da sua expansão. Ela vale 25   ° C segundo o enunciado;
  • T 2 é a temperatura da água depois da sua expansão. Ela vale 35   ° C segundo o enunciado.

Agora temos todas as informações necessárias para iniciarmos os cálculos, substituindo os dados.

Passo 3

Iniciamos os cálculos com a substituição dos valores de temperatura para achar as massas específicas:

ρ 1   =   1008   – T 1 2 = 1008   – 25 2 = 995,5   k g m 3

ρ 2   =   1008   – T 2 2 = 1008   – 35 2 = 990,5   k g m 3

Agora usamos os valores encontrados na fórmula da variação da altura do filme.

Δ L = ρ 1 - ρ 2 ρ 2 ⋅ L 1 = 995,5 - 990,5 990,5 ⋅ 1 ≅ 0,005   m

Resposta

Δ L = 0,005   m

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