( 3,4 pontos) Uma máquina térmica recebe, da fonte quente, um calor Q_{A}= (310,3 \pm 0,2) cal e perde, para a fonte fria, um calor \mathrm{Q}_{\mathrm{B}}=(205,3 \pm 0,1) cal, a cada ciclo.
a) (1,7 pontos) Qual a razão \mathrm{Q}_{\mathrm{B}} / \mathrm{Q}_{\mathrm{A}} ?
b) ( 1,7 pontos) Qual o rendimento da máquina?

Passo 1

O enunciado dá, por ciclo, as seguintes quantidades (peguei os números diretamente do enunciado):
  • Q_{A}=(310,3\pm0,2)\\ \text{cal} (calor recebido da fonte quente).
  • Q_{B}=(205,3\pm0,1)\\ \text{cal} (calor cedido à fonte fria).
As perguntas são:
  1. Calcular a razão \dfrac{Q_{B}}{Q_{A}} e sua incerteza.
  2. Calcular o rendimento da máquina térmica e sua incerteza.

Passo 2

Definições e método para propagar incertezas (aulas rápidas e práticas).
  • A razão que queremos é
R=\frac{Q_{B}}{Q_{A}}.
  • Para propagar incertezas em funções de variáveis independentes, uso o método das derivadas parciais (linearização). Se R=f(Q_B,Q_A) então
\sigma_{R}^{2}=\left(\frac{\partial R}{\partial Q_{B}}\right)^{2}\sigma_{B}^{2}+\left(\frac{\partial R}{\partial Q_{A}}\right)^{2}\sigma_{A}^{2},
onde \sigma_{B} e \sigma_{A} são as incertezas de Q_{B} e Q_{A}, respectivamente.
  • No nosso caso R=Q_{B}/Q_{A}. Calculo as derivadas:
\frac{\partial R}{\partial Q_{B}}=\frac{1}{Q_{A}},\qquad \frac{\partial R}{\partial Q_{A}}=-\frac{Q_{B}}{Q_{A}^{2}}.
Logo
\sigma_{R}^{2}=\left(\frac{1}{Q_{A}}\right)^{2}\sigma_{B}^{2}+\left(\frac{Q_{B}}{Q_{A}^{2}}\right)^{2}\sigma_{A}^{2}.
  • Observação prática: para um quociente, esta fórmula é equivalente a somar em quadratura as incertezas relativas:
\left(\frac{\sigma_{R}}{R}\right)^{2}=\left(\frac{\sigma_{B}}{Q_{B}}\right)^{2}+\left(\frac{\sigma_{A}}{Q_{A}}\right)^{2}.
Isso é muito útil na prova porque evita manipulações extras.

Passo 3

Cálculo numérico da razão R.
  • Primeiro o valor central:
R=\frac{Q_{B}}{Q_{A}}=\frac{205{,}3}{310{,}3}\approx 0{,}6616178\ldots

Passo 4

Cálculo da incerteza \sigma_{R} passo a passo.
  • Incertezas dadas: \sigma_{B}=0{,}1\\ \text{cal}, \sigma_{A}=0{,}2\\ \text{cal}.
  • Calculo das incertezas relativas:
\frac{\sigma_{B}}{Q_{B}}=\frac{0{,}1}{205{,}3}\approx 0{,}00048696, \qquad \frac{\sigma_{A}}{Q_{A}}=\frac{0{,}2}{310{,}3}\approx 0{,}00064442.
  • Somando em quadratura:
\left(\frac{\sigma_{R}}{R}\right)^{2}=(0{,}00048696)^{2}+(0{,}00064442)^{2}\approx 6{,}5267\times10^{-7},
\frac{\sigma_{R}}{R}\approx\sqrt{6{,}5267\times10^{-7}}\approx 0{,}0008079.
  • Portanto
\sigma_{R}=R\cdot0{,}0008079\approx 0{,}6616178\cdot0{,}0008079\approx 0{,}0005347.

Passo 5

Apresentação arredondada da razão com incerteza.
  • Regra prática de arredondamento: a incerteza costuma ser dada com uma ou duas cifras significativas; aqui uso duas cifras significativas para \sigma_{R}: \sigma_{R}\approx0{,}00053.
  • Ajusto R para a mesma casa decimal: R\approx0{,}66162.
  • Logo
\frac{Q_{B}}{Q_{A}}=(0{,}66162\pm0{,}00053).

Passo 6

Cálculo do rendimento \eta e sua incerteza.
  • Definição de rendimento (para máquina térmica simples): a fração do calor recebido que é transformada em trabalho. Se a máquina recebe Q_{A} e descarrega Q_{B}, o trabalho por ciclo é W=Q_{A}-Q_{B} e o rendimento é
\eta=\frac{W}{Q_{A}}=\frac{Q_{A}-Q_{B}}{Q_{A}}=1-\frac{Q_{B}}{Q_{A}}=1-R.
  • Como \eta=1-R, a incerteza em \eta é igual à incerteza em R (assumindo que a constante 1 não tem incerteza):
\sigma_{\eta}=\sigma_{R}\approx0{,}00053.
  • Valor central:
\eta=1-R\approx 1-0{,}6616178\approx 0{,}3383822.
  • Arredondando à mesma precisão da incerteza:
\eta=(0{,}33838\pm0{,}00053).
  • Em porcentagem (às vezes mais intuitivo):
\eta=(33{,}838\pm0{,}053)\,\%.

Resposta

\dfrac{Q_{B}}{Q_{A}}=(0{,}66162\pm0{,}00053)
\eta=(0{,}33838\pm0{,}00053)

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