03 - (UERJ - Adaptada) Uma lente convergente é utilizada para formar a imagem de um pequeno objeto colocado sobre o seu eixo principal. Sabe-se que o objeto está posicionado além do ponto antiprincipal (isto é, a uma distância maior que o dobro da distância focal da lente).
a) Construa, graficamente, a formaçāo da imagem desse objeto.
b) Com base na construção, descreva as caracteristicas da imagem formada (real ou virtual, direita ou invertida, maior ou menor, e posição em relação à lente).
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Passo 1

O enunciado pede duas coisas.
a) Fazer a construção gráfica da formação da imagem de um pequeno objeto colocado sobre o eixo principal de uma lente convergente, sabendo que o objeto está além do ponto antiprincipal (isto é, a uma distância maior que o dobro da distância focal).
b) A partir da construção, descrever as características da imagem formada: se é real ou virtual, direita ou invertida, maior ou menor que o objeto e qual a sua posição em relação à lente.
Informações dadas que vamos usar:
  • A lente é convergente.
  • A distância focal da lente é f.
  • O objeto está no eixo principal a uma distância s da lente com s>2f (além do antiprincipal, ou seja, além de 2f).
  • O objeto é pequeno (podemos representá‑lo por uma seta curta perpendicular ao eixo).

Passo 2

Preparando a folha para a construção (como você faria na prova):
  • Desenhe uma linha horizontal: o eixo principal.
  • Marque o centro óptico da lente como um ponto no eixo e desenhe um símbolo de lente (dois arcos simétricos) no centro — esse é o local da lente.
  • Marque do lado do objeto os pontos f e 2f medidos a partir do centro da lente ao longo do eixo (isto é, marque f e 2f à esquerda se o objeto está à esquerda).
  • Coloque o objeto como uma pequena seta perpendicular ao eixo com a base sobre o eixo, em uma posição à esquerda do ponto 2f; chame a distância objeto‑lente de s (lembre: s>2f).
Dica rápida: na prova você não precisa desenhar a lente perfeita, só o eixo, o centro e os pontos f e 2f já ajudam muito.

Passo 3

Regra dos raios para construção (vamos usar três raios usuais — qualquer dois bastam para localizar a imagem; o terceiro é verificação):
Explique por que essas regras valem (didático curto):
  • Um raio que sai do topo do objeto paralelo ao eixo principal atravessa a lente e passa pelo foco secundário do outro lado (regra do paralelismo).
  • Um raio que passa pelo centro óptico da lente segue praticamente sem desvio (a lente pode ser considerada delgada; esse raio continua em linha reta).
  • Um raio que passa pelo foco antes de chegar à lente sai da lente paralelo ao eixo (regra recíproca do paralelismo).
Essas regras vêm das propriedades geométricas das lentes delgadas e de como as superfícies refratoras curvam os raios; para a construção prática, memoriza essas três.

Passo 4

Desenhe o primeiro raio (raio paralelo):
  • Do topo da seta do objeto trace um raio em linha reta paralelo ao eixo em direção à lente.
  • Ao atingir a lente, desenhe o trecho refratado passando pelo foco do lado oposto da lente (marcado como f). Continue esse segmento até além do eixo; ele será um dos raios que se cruzam para formar a imagem.

Passo 5

Desenhe o segundo raio (raio pelo centro óptico):
  • Do mesmo topo da seta trace um segmento em direção ao centro óptico da lente (o ponto marcado no centro).
  • Prolongue esse mesmo segmento além da lente sem desviar (para lentes delgadas, o desvio é desprezível nesse desenho). Esse raio é praticamente uma reta contínua que atravessa a lente.

Passo 6

Desenhe o terceiro raio (opcional, verificação):
  • Do topo da seta trace um raio que se dirige ao foco do objeto (isto é, ao foco do lado do objeto).
  • Ao atingir a lente, desenhe o raio refratado saindo paralelo ao eixo do outro lado.
  • Os três raios (ou pelo menos os dois primeiros) vão se intersectar num ponto do lado oposto da lente; esse ponto é o topo da imagem.

Passo 7

Interpretação geométrica da interseção:
  • O ponto de interseção dos raios do lado oposto da lente determina a posição do topo da imagem. A base da imagem fica no eixo (como a base do objeto), então a imagem será representada por uma seta com base no eixo e topo no ponto de interseção.
  • Observação visual que você verá ao desenhar: a imagem aparece do outro lado da lente (lado oposto ao objeto), entre os pontos f e 2f (isto é, mais perto da lente que 2f, mas mais longe que f). A seta imagem estará invertida em relação à seta objeto (topo para baixo).
Até aqui já temos a construção gráfica e uma conclusão experimental. Agora vamos provar isso com a fórmula da lente, para você explicar direitinho na prova.

Passo 8

Usando a fórmula da lente delgada para justificar a posição e o tamanho da imagem:
Apresente a fórmula e explique cada símbolo:
\frac{1}{f}=\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}
onde f é a distância focal, s é a distância objeto‑lente e s' é a distância imagem‑lente (com o sinal positivo para imagens reais do lado oposto ao objeto).
Isolando s':
\frac{1}{s'}=\frac{1}{f}-\frac{1}{s}=\frac{s-f}{fs}
s'=\frac{fs}{s-f}

Passo 9

Provar que, quando s>2f, então f<s'<2f (ou seja, a imagem fica entre f e 2f):
Primeiro, mostre que s'>f:
s'=\frac{fs}{s-f}>f
dividindo por f>0 obtemos
\frac{s}{s-f}>1
o que é verdade porque s> s-f (já que f>0). Logo s'>f.
Agora mostre que s'<2f quando s>2f:
Queremos \displaystyle s'<2f.
Usando a expressão de s':
\frac{fs}{s-f}<2f
dividindo por f>0:
\frac{s}{s-f}<2
isso é equivalente a
s<2(s-f)=2s-2f
0<s-2f
que é verdadeiro justamente porque s>2f (hipótese). Portanto \displaystyle s'<2f.
Assim concluímos que quando s>2f então f<s'<2f, ou seja, a imagem está entre f e 2f do lado oposto da lente.

Passo 10

Tamanho e orientação (magnificação) — explique a fórmula e o seu significado:
A ampliação linear (magnificação) é dada por
m=\frac{h'}{h}=-\frac{s'}{s}
onde h é a altura do objeto e h' a altura da imagem. O sinal negativo indica inversão vertical (imagem invertida em relação ao objeto). Como s'>0 e s>0, o valor absoluto da ampliação é |m|=s'/s.
Como s'>f mas s'>0 e s> s' quando s>2f (porque s>2f>s'), temos |m|=\dfrac{s'}{s}<1. Portanto a imagem é menor que o objeto (reduzida).

Passo 11

Resumo visual e prática de construção rápida para a prova:
  • Coloque o objeto além de 2f.
  • Trace o raio paralelo → passa pelo foco do outro lado.
  • Trace o raio pelo centro → segue reto.
  • Marque a interseção do prolongamento dos raios do outro lado → topo da imagem.
  • Verifique: a imagem estará no lado oposto da lente, entre f e 2f, invertida e menor.
Um toque motivador: faça essa construção duas ou três vezes com posições de objeto diferentes (um pouco além de 2f, muito além de 2f) para fixar o padrão — você vai ver que sempre aparece a mesma família de características.

Resposta

A imagem é real.
A imagem é invertida (virada de cabeça para baixo em relação ao objeto).
A imagem é menor que o objeto (reduzida, |m|<1).
A posição da imagem é do lado oposto da lente, entre f e 2f (ou seja, f<s'<2f).

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