03 - (UERJ - Adaptada) Uma lente convergente é utilizada para formar a imagem de um pequeno objeto colocado sobre o seu eixo principal. Sabe-se que o objeto está posicionado além do ponto antiprincipal (isto é, a uma distância maior que o dobro da distância focal da lente).
a) Construa, graficamente, a formaçāo da imagem desse objeto.
b) Com base na construção, descreva as caracteristicas da imagem formada (real ou virtual, direita ou invertida, maior ou menor, e posição em relação à lente).
a) Construa, graficamente, a formaçāo da imagem desse objeto.
b) Com base na construção, descreva as caracteristicas da imagem formada (real ou virtual, direita ou invertida, maior ou menor, e posição em relação à lente).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas.
a) Fazer a construção gráfica da formação da imagem de um pequeno objeto colocado sobre o eixo principal de uma lente convergente, sabendo que o objeto está além do ponto antiprincipal (isto é, a uma distância maior que o dobro da distância focal).
b) A partir da construção, descrever as características da imagem formada: se é real ou virtual, direita ou invertida, maior ou menor que o objeto e qual a sua posição em relação à lente.
a) Fazer a construção gráfica da formação da imagem de um pequeno objeto colocado sobre o eixo principal de uma lente convergente, sabendo que o objeto está além do ponto antiprincipal (isto é, a uma distância maior que o dobro da distância focal).
b) A partir da construção, descrever as características da imagem formada: se é real ou virtual, direita ou invertida, maior ou menor que o objeto e qual a sua posição em relação à lente.
Informações dadas que vamos usar:
- A lente é convergente.
- A distância focal da lente é
. - O objeto está no eixo principal a uma distância
da lente com (além do antiprincipal, ou seja, além de ). - O objeto é pequeno (podemos representá‑lo por uma seta curta perpendicular ao eixo).
Passo 2
Preparando a folha para a construção (como você faria na prova):
- Desenhe uma linha horizontal: o eixo principal.
- Marque o centro óptico da lente como um ponto no eixo e desenhe um símbolo de lente (dois arcos simétricos) no centro — esse é o local da lente.
- Marque do lado do objeto os pontos
e medidos a partir do centro da lente ao longo do eixo (isto é, marque e à esquerda se o objeto está à esquerda). - Coloque o objeto como uma pequena seta perpendicular ao eixo com a base sobre o eixo, em uma posição à esquerda do ponto
; chame a distância objeto‑lente de (lembre: ).
Dica rápida: na prova você não precisa desenhar a lente perfeita, só o eixo, o centro e os pontos
e
já ajudam muito.
Passo 3
Regra dos raios para construção (vamos usar três raios usuais — qualquer dois bastam para localizar a imagem; o terceiro é verificação):
Explique por que essas regras valem (didático curto):
Explique por que essas regras valem (didático curto):
- Um raio que sai do topo do objeto paralelo ao eixo principal atravessa a lente e passa pelo foco secundário do outro lado (regra do paralelismo).
- Um raio que passa pelo centro óptico da lente segue praticamente sem desvio (a lente pode ser considerada delgada; esse raio continua em linha reta).
- Um raio que passa pelo foco antes de chegar à lente sai da lente paralelo ao eixo (regra recíproca do paralelismo).
Essas regras vêm das propriedades geométricas das lentes delgadas e de como as superfícies refratoras curvam os raios; para a construção prática, memoriza essas três.
Passo 4
Desenhe o primeiro raio (raio paralelo):
- Do topo da seta do objeto trace um raio em linha reta paralelo ao eixo em direção à lente.
- Ao atingir a lente, desenhe o trecho refratado passando pelo foco do lado oposto da lente (marcado como
). Continue esse segmento até além do eixo; ele será um dos raios que se cruzam para formar a imagem.
Passo 5
Desenhe o segundo raio (raio pelo centro óptico):
- Do mesmo topo da seta trace um segmento em direção ao centro óptico da lente (o ponto marcado no centro).
- Prolongue esse mesmo segmento além da lente sem desviar (para lentes delgadas, o desvio é desprezível nesse desenho). Esse raio é praticamente uma reta contínua que atravessa a lente.
Passo 6
Desenhe o terceiro raio (opcional, verificação):
- Do topo da seta trace um raio que se dirige ao foco do objeto (isto é, ao foco do lado do objeto).
- Ao atingir a lente, desenhe o raio refratado saindo paralelo ao eixo do outro lado.
- Os três raios (ou pelo menos os dois primeiros) vão se intersectar num ponto do lado oposto da lente; esse ponto é o topo da imagem.
Passo 7
Interpretação geométrica da interseção:
- O ponto de interseção dos raios do lado oposto da lente determina a posição do topo da imagem. A base da imagem fica no eixo (como a base do objeto), então a imagem será representada por uma seta com base no eixo e topo no ponto de interseção.
- Observação visual que você verá ao desenhar: a imagem aparece do outro lado da lente (lado oposto ao objeto), entre os pontos
e (isto é, mais perto da lente que , mas mais longe que ). A seta imagem estará invertida em relação à seta objeto (topo para baixo).
Até aqui já temos a construção gráfica e uma conclusão experimental. Agora vamos provar isso com a fórmula da lente, para você explicar direitinho na prova.
Passo 8
Usando a fórmula da lente delgada para justificar a posição e o tamanho da imagem:
Apresente a fórmula e explique cada símbolo:
Apresente a fórmula e explique cada símbolo:
onde
é a distância focal,
é a distância objeto‑lente e
é a distância imagem‑lente (com o sinal positivo para imagens reais do lado oposto ao objeto).
Isolando
:
Passo 9
Provar que, quando
, então
(ou seja, a imagem fica entre
e
):
Primeiro, mostre que :
Primeiro, mostre que
dividindo por
obtemos
o que é verdade porque
(já que
). Logo
.
Agora mostre que
quando
:
Queremos .
Usando a expressão de :
Queremos
Usando a expressão de
dividindo por
:
isso é equivalente a
que é verdadeiro justamente porque
(hipótese). Portanto
.
Assim concluímos que quando
então
, ou seja, a imagem está entre
e
do lado oposto da lente.
Passo 10
Tamanho e orientação (magnificação) — explique a fórmula e o seu significado:
A ampliação linear (magnificação) é dada por
A ampliação linear (magnificação) é dada por
onde
é a altura do objeto e
a altura da imagem. O sinal negativo indica inversão vertical (imagem invertida em relação ao objeto). Como
e
, o valor absoluto da ampliação é
.
Como
mas
e
quando
(porque
), temos
. Portanto a imagem é menor que o objeto (reduzida).
Passo 11
Resumo visual e prática de construção rápida para a prova:
- Coloque o objeto além de
. - Trace o raio paralelo → passa pelo foco do outro lado.
- Trace o raio pelo centro → segue reto.
- Marque a interseção do prolongamento dos raios do outro lado → topo da imagem.
- Verifique: a imagem estará no lado oposto da lente, entre
e , invertida e menor.
Um toque motivador: faça essa construção duas ou três vezes com posições de objeto diferentes (um pouco além de
, muito além de
) para fixar o padrão — você vai ver que sempre aparece a mesma família de características.
Resposta
A imagem é real.
A imagem é invertida (virada de cabeça para baixo em relação ao objeto).
A imagem é menor que o objeto (reduzida, ).
A posição da imagem é do lado oposto da lente, entre e
(ou seja,
).
A imagem é invertida (virada de cabeça para baixo em relação ao objeto).
A imagem é menor que o objeto (reduzida,
A posição da imagem é do lado oposto da lente, entre