\mathbf{5}(\mathbf{1 , 0}). Na pia de uma cozinha doméstica, 10 L de água a 80^{\circ} \mathrm{C} são combinados com 1,2 \mathrm{~kg} de panelas de alumínio, 1 kg de talheres de aço e 1,8 \mathrm{~kg} de copos de vidro, todos a 25^{\circ} \mathrm{C}. Desprezando a transferência de calor para o ambiente e qualquer tipo de trabalho, qual é a temperatura final e a variação de entropia de todo o sistema? Considere os calores específicos dos constituintes do sistema como sendo a 25^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá uma situação de equilíbrio térmico sem perda de calor para o ambiente e sem trabalho: 10 L de água a 80^\circ\mathrm{C} são misturados com massas sólidas a 25^\circ\mathrm{C}. Perguntas: qual é a temperatura final do conjunto e qual é a variação de entropia total do sistema? Dados fornecidos (transformei 10 L em massa de água):
\begin{aligned} &\text{Água: } m_w=10\\ \mathrm{kg},\\ T_{w,i}=80^\circ\mathrm{C}=353{,}15\\ \mathrm{K}.\\\ &\text{Panelas (alumínio): } m_{Al}=1{,}2\\ \mathrm{kg},\\ T_{Al,i}=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}.\\\ &\text{Talheres (aço): } m_{Fe}=1{,}0\\ \mathrm{kg},\\ T_{Fe,i}=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}.\\\ &\text{Copos (vidro): } m_{g}=1{,}8\\ \mathrm{kg},\\ T_{g,i}=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}.\\\ &\text{Pressupostos: calor específico de cada material igual ao valor a }25^\circ\mathrm{C},\\ \text{sem mudança de fase.} \end{aligned}Áíçíç

Passo 2

Escolhi valores usualmente adotados para os calores específicos a 25^\circ\mathrm{C} (dados típicos de tabelas). Vou explicitar porque: para conservar energia precisamos dos produtos m c, e para calcular variação de entropia usaremos \Delta S=\int \frac{C}{T}\,dT assumindo c constante no intervalo.
Valores usados:
\begin{aligned} &c_w = 4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\quad\text{(água)},\\\ &c_{Al} = 900\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\quad\text{(alumínio)},\\\ &c_{Fe} = 500\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\quad\text{(aço/ferro)},\\\ &c_{g} = 840\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\quad\text{(vidro)}. \end{aligned}áíç
Explicação rápida: esses cs são constantes aproximadas no intervalo de temperatura considerado; isso permite integrar \int C/T\,dT facilmente.

Passo 3

Primeiro encontramos a temperatura final T_f impondo conservação de energia (calor cedido = calor ganho). A equação é
\sum_i m_i c_i (T_f - T_{i}) = 0.
Isolando T_f:
T_f = \frac{\sum_i m_i c_i T_i}{\sum_i m_i c_i}.
Aqui m_i c_i é a capacidade térmica (em J/K) de cada corpo e T_i sua temperatura inicial (em K).

Passo 4

Calculo das capacidades térmicas C_i = m_i c_i (em J/K):
\begin{aligned} &C_w = m_w c_w = 10\cdot 4186 = 41860\\ \mathrm{J/K},\\\ &C_{Al} = 1{,}2\cdot 900 = 1080\\ \mathrm{J/K},\\\ &C_{Fe} = 1{,}0\cdot 500 = 500\\ \mathrm{J/K},\\\ &C_{g} = 1{,}8\cdot 840 = 1512\\ \mathrm{J/K}. \end{aligned}
Capacidade térmica total:
C_{\text{tot}} = 41860 + 1080 + 500 + 1512 = 44952\\ \mathrm{J/K}.

Passo 5

Cálculo do numerador \sum_i C_i T_i (usando T em K; atenção: para energia funciona igualmente usar °C em diferenças, mas aqui multiplico por T_i em K para coerência com entropia depois):
\begin{aligned} &C_w T_{w,i} = 41860\cdot 353{,}15 = 14782859{,}0\\ \mathrm{J},\\\ &C_{Al} T_{Al,i} = 1080\cdot 298{,}15 = 322002{,}0\\ \mathrm{J},\\\ &C_{Fe} T_{Fe,i} = 500\cdot 298{,}15 = 149075{,}0\\ \mathrm{J},\\\ &C_{g} T_{g,i} = 1512\cdot 298{,}15 = 450802{,}8\\ \mathrm{J}. \end{aligned}
Somando:
\sum_i C_i T_i = 14782859{,}0 + 322002{,}0 + 149075{,}0 + 450802{,}8 = 15704738{,}8\\ \mathrm{J}.
Agora
T_f = \frac{15704738{,}8}{44952} = 349{,}366944\\ \mathrm{K}.
Convertendo para graus Celsius:
T_f = 349{,}366944 - 273{,}15 = 76{,}216944\\ ^\circ\mathrm{C}\approx 76{,}22^\circ\mathrm{C}.
Interpretação curta: a água de 80^\circ\mathrm{C} resfria um pouco até cerca de 76{,}2^\circ\mathrm{C}; os sólidos aquecem de 25^\circ\mathrm{C} até essa temperatura.

Passo 6

Agora a variação de entropia. Para um corpo com calor específico constante c e massa m, a variação de entropia ao ir de T_i para T_f é
\Delta S = \int_{T_i}^{T_f} \frac{m c}{T}\,dT = m c \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right).
Aqui T deve estar em kelvin. Vou aplicar essa fórmula a cada componente e somar.

Passo 7

Cálculo das variações de entropia individuais (usando C_i=m_i c_i já calculados e T_f=349{,}366944\\ \mathrm{K}):
Água:
\Delta S_w = C_w \ln\!\left(\frac{T_f}{T_{w,i}}\right) =41860\ln\!\left(\frac{349{,}366944}{353{,}15}\right).
Taxa:
\frac{349{,}366944}{353{,}15}\approx 0{,}989281\quad\Rightarrow\quad \ln(\cdot)\approx -0{,}01077598,
portanto
\Delta S_w \approx 41860\cdot(-0{,}01077598) \approx -451{,}08\\ \mathrm{J/K}.
Alumínio:
\Delta S_{Al}=1080\ln\!\left(\frac{349{,}366944}{298{,}15}\right).
Taxa:
\frac{349{,}366944}{298{,}15}\approx 1{,}171930\quad\Rightarrow\quad \ln(\cdot)\approx 0{,}157986,
logo
\Delta S_{Al}\approx 1080\cdot 0{,}157986 \approx 170{,}63\\ \mathrm{J/K}.
Aço (talheres):
\Delta S_{Fe}=500\ln\!\left(\frac{349{,}366944}{298{,}15}\right) \approx 500\cdot 0{,}157986 \approx 78{,}99\\ \mathrm{J/K}.
Vidro:
\Delta S_{g}=1512\ln\!\left(\frac{349{,}366944}{298{,}15}\right) \approx 1512\cdot 0{,}157986 \approx 238{,}87\\ \mathrm{J/K}.
Somando:
\Delta S_{\text{total}}=\Delta S_w+\Delta S_{Al}+\Delta S_{Fe}+\Delta S_{g} \approx -451{,}08 +170{,}63 +78{,}99 +238{,}87 = 37{,}41\\ \mathrm{J/K}.
(O pequeno excesso de entropia positiva é esperado: mistura irreversível gera entropia.)

Resposta

T_f \approx 76{,}22^\circ\mathrm{C}
\Delta S_{\text{total}} \approx 37{,}4\\ \mathrm{J/K}

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