04 - A entropia molar de um gás é dada por
, onde c é uma constante. (a)
Determine as equações de estado; (b) Determine o calor específico a volume constante
.
Determine as equações de estado; (b) Determine o calor específico a volume constante
Passo 1
O enunciado dá a entropia molar
onde
é constante,
é a constante dos gases,
é o volume molar e
é a energia interna molar.
O que é pedido:
(a) Determinar as equações de estado (ou seja, relações entre que decorrem dessa forma de
).
(b) Determinar o calor específico a volume constante (molar).
O que é pedido:
(a) Determinar as equações de estado (ou seja, relações entre
(b) Determinar o calor específico a volume constante
Passo 2
Lembrete importante (fórmula que vamos usar): para a entropia como função de
e
temos a diferencial fundamental
ou, em termos de derivadas parciais,
Aqui
é a temperatura molar e
a pressão molar. Vou aplicar essas fórmulas para obter
e
a partir de
. Explico cada derivada passo a passo.
Passo 3
Calculemos primeiro
. Da expressão de
,
a única parte que depende de
é
. A derivada dessa parte em relação a
(com
fixo) é
Portanto
Pelo relacionamento termoodinâmico temos
. Logo
Invertendo para obter
,
Passo 4
Agora calculemos
. Diferenciando
em relação a
(com
fixo):
a parte dá
, e a parte
dá
. Assim
a parte
Pelo relacionamento temos
. Então
Passo 5
Para obter
em função de
e
substituímos a expressão de
do Passo 3 na equação anterior. Substituindo
em
obtemos
Agora simplificamos: os fatores
e
cancelam, e também aparecem fatores
. Fazendo as contas passo a passo:
Simplificando cada termo:
Separe os termos envolvendo
:
Portanto uma forma conveniente da equação de estado (pressão em função de
e
) é
Passo 6
É frequentemente útil escrever as equações de estado também na forma
e
. A partir de
podemos resolver para
:
multiplicando ambos os lados por obtemos
multiplicando ambos os lados por
Substituindo essa expressão de
em
obtemos
Simplificando:
Essa é a forma
das equações de estado — nota: muito parecida com a forma do gás de van der Waals quando o volume próprio
.
Passo 7
Agora o calor específico molar a volume constante
(que é o
molar) pode ser obtido de forma direta usando a relação
Usando
, ao derivar em relação a
com
fixo o termo
é constante e some, ficando
Também poderíamos ter usado
e obteríamos o mesmo resultado. Então o calor específico a volume constante é constante e igual a
.
Resposta
(a)
; equivalentemente
(b)