3.105 Um tanque contém 10 \mathrm{lb}(4,5 \mathrm{~kg}) de ar a 70^{\circ} \mathrm{F}\left(21,1^{\circ} \mathrm{C}\right) com uma pressāo de 30 \mathrm{tbf} / \mathrm{in}^{1}(206,8 \mathrm{kPa}). Determine o volume do ar, em \mathrm{ft}^{3} Verifique que o comportamento de gas ideal pode ser assumido pelo at sob essas condiçöes.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa:
  • Massa do ar: m=10\\ \mathrm{lb} (ou seja, 10\\ \mathrm{lb_{m}}).
  • Temperatura: 70^\circ\mathrm{F} (o enunciado também informa 21{,}1^\circ\mathrm{C}).
  • Pressão: 30\\ \mathrm{lbf/in^2} (o enunciado também informa 206{,}8\\ \mathrm{kPa}).
  • O que se pede: determinar o volume do ar em \mathrm{ft^3} e verificar se podemos assumir comportamento de gás ideal nessas condições.

Passo 2

Princípio que vamos usar: a equação dos gases ideais na forma prática para massa fixa:
P V = m R T,
onde
  • P é a pressão na mesma unidade de força/área que usaremos (aqui usaremos \mathrm{lbf/ft^2}),
  • V é o volume em \mathrm{ft^3},
  • m é a massa em \mathrm{lb_{m}},
  • R é a constante específica do gás (para o ar),
  • T é a temperatura absoluta em graus Rankine (^\circ\mathrm{R}).
Explicando as unidades: com R em \mathrm{ft\cdot lbf/(lb_{m}\cdot ^\circ R)}, m em \mathrm{lb_{m}}, T em ^\circ\mathrm{R} e P em \mathrm{lbf/ft^2}, o volume V sai em \mathrm{ft^3}.
Valor prático da constante do ar (usada frequentemente em problemas em unidades inglesas):
R_{\text{ar}} = 53{,}35\\ \mathrm{ft\cdot lbf/(lb_{m}\cdot ^\circ R)}.
Vou usar esse R.

Passo 3

Primeira conversão: pressão de \mathrm{lbf/in^2} (psi) para \mathrm{lbf/ft^2} (psf).
Sabendo que 1\\ \mathrm{in^2} = \dfrac{1}{144}\\ \mathrm{ft^2}, então
1\\ \mathrm{psi} = 144\\ \mathrm{psf}.
Assim,
P = 30\\ \mathrm{psi} = 30\times144 = 4320\\ \mathrm{lbf/ft^2}.

Passo 4

Segunda conversão: temperatura de ^\circ\mathrm{F} para ^\circ\mathrm{R}.
Fórmula: T(^\circ\mathrm{R}) = T(^\circ\mathrm{F}) + 459{,}67.
Logo
T = 70 + 459{,}67 = 529{,}67\\ ^\circ\mathrm{R}.

Passo 5

Agora isolamos V na equação dos gases ideais:
V = \frac{m R T}{P}.
Substituindo os valores (tudo em unidades consistentes):
m = 10\\ \mathrm{lb_{m}},\quad R=53{,}35\\ \mathrm{ft\cdot lbf/(lb_{m}\cdot ^\circ R)},\quad T=529{,}67\\ ^\circ\mathrm{R},\quad P=4320\\ \mathrm{lbf/ft^2}.
Calcule passo a passo o numerador:
R T = 53{,}35 \times 529{,}67 = 28257{,}8945\\ \mathrm{ft\cdot lbf/(lb_{m})}.
Multiplicando por m:
m R T = 10 \times 28257{,}8945 = 282578{,}945.
Agora divide-se por P:
V = \frac{282578{,}945}{4320} \approx 65{,}412\\ \mathrm{ft^3}.
Arredondando sensatamente (duas casas decimais é suficiente aqui):
V \approx 65{,}41\\ \mathrm{ft^3}.

Passo 6

Para ver se o gás ideal é aceitável, calculemos a densidade e o volume específico, que nos ajudam a comparar com condições críticas:
Volume específico (por unidade de massa):
v = \frac{V}{m} = \frac{65{,}412}{10} = 6{,}5412\\ \mathrm{ft^3/lb_{m}}.
Densidade em unidades inglesas:
\rho = \frac{m}{V} = \frac{10}{65{,}412} \approx 0{,}1529\\ \mathrm{lb_{m}/ft^3}.
Converter \rho para SI (para comparação com valores conhecidos): 1\\ \mathrm{lb_{m}/ft^3}=16{,}01846\\ \mathrm{kg/m^3}, então
\rho \approx 0{,}1529\times16{,}01846 \approx 2{,}45\\ \mathrm{kg/m^3}.
Esse valor faz sentido: ao redor de 21^\circ\mathrm{C} e pressão aproximadamente 206{,}8\\ \mathrm{kPa} (cerca de 2,04 atmosferas), a densidade do ar deve ser cerca de o dobro da densidade atmosférica normal ( \sim1{,}2\\ \mathrm{kg/m^3}), logo 2{,}45\\ \mathrm{kg/m^3} é coerente.

Passo 7

Verificação da hipótese de gás ideal (justificativa física simples):
Propriedades críticas do ar (valores aproximados):
T_c \approx 132{,}5\\ \mathrm{K},\qquad P_c \approx 3{,}77\\ \mathrm{MPa}=3773\\ \mathrm{kPa}.
Convertendo nossa temperatura para Kelvin: T = 529{,}67^\circ\mathrm{R} = 529{,}67/1{,}8 = 294{,}26\\ \mathrm{K} (coerente com 21{,}1^\circ\mathrm{C}).
Cálculo das grandezas reduzidas:
T_r = \frac{T}{T_c} \approx \frac{294{,}26}{132{,}5}\approx 2{,}22,
P_r = \frac{P}{P_c} \approx \frac{206{,}8}{3773}\approx 0{,}055.
Interpretação: estamos com T_r\gg1 (mais do que o dobro da temperatura crítica) e P_r\ll1 (muito abaixo da pressão crítica). Nessas condições o fator de compressibilidade Z está muito próximo de 1 (tipicamente erro muito pequeno, bem abaixo de alguns por cento). Portanto o ar comporta-se essencialmente como gás ideal nas condições dadas.
Conclusão: a aproximação de gás ideal é válida aqui.

Resposta

V \approx 65{,}41\\ \mathrm{ft^3}

Exercícios relacionados