Mostre que
onde :
(calor especifico a volume constante);
(calor especifico a pressão constante);
(expansão térmica);
(compressibilidade isotérmica).
Sugestão : use o fato de que
.
Sugestão : use o fato de que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a relação entre
e
, dada a identidade sugerida para
e as definições fornecidas. As informações relevantes fornecidas são:
Também foi sugerido usar
O objetivo final é chegar à fórmula pedida relacionando
e
com
e
.
Passo 2
Vamos escrever
usando a expressão de
aplicada a um processo à pressão constante. Como
, avaliaremos
a partir da sugestão. Para variações com
constante, a variação de
quando
varia é
Em um processo isobárico (
) temos
. Substituindo em
e comparando com
obtemos
Passo 3
Multiplicando a expressão anterior por
para obter
e isolando a diferença
, obtemos
Aqui usei a definição
(rearranjando a definição de
). Agora precisamos reescrever
e
em termos de
e
.
Passo 4
Para expressar
usamos uma relação de Maxwell. Seja
a energia livre de Helmholtz
. O diferencial é
Logo
e
. Igualando derivadas mistas de
(a ordem das derivadas não importa para
bem comportada) obtemos a relação de Maxwell
Portanto podemos substituir
por
na expressão para
.
Passo 5
Agora precisamos escrever
em termos de
e
. Começamos da diferencial total de
:
Se mantivermos
fixo (
) e variarmos
(então
na curva
constante é
), temos
Isolando,
Agora usamos as definições fornecidas:
onde usamos
. Substituindo:
Passo 6
Retornando à expressão de
,
Substituindo
(Passo 5) e
(definição de
), obtemos
Passo 7
Concluímos então a relação desejada. Se quiser relacionar com as notações do enunciado, observe que
corresponde ao
como definido (na prática
é a compressibilidade isotérmica dada no enunciado) e
é o coeficiente de expansão térmica dado. A relação final é a forma usual encontrada em termodinâmica.