Mostre que C_{p}=C_{v}+T \frac{V_{a}^{2}}{\kappa_{T}} onde : C_{v}=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{v} (calor especifico a volume constante);
C_{p}=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{p} (calor especifico a pressão constante); \alpha=\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p} (expansão térmica);
K_{T}^{-}=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T} (compressibilidade isotérmica).
Sugestão : use o fato de que d S=\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{V} d T+\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T} d V.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a relação entre C_{p} e C_{v}, dada a identidade sugerida para dS e as definições fornecidas. As informações relevantes fornecidas são:
C_{v}=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{V}, \qquad C_{p}=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{P},
\alpha=\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}, \qquad \kappa_{T}=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T}.
Também foi sugerido usar
dS=\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{V}dT+\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T}dV.
O objetivo final é chegar à fórmula pedida relacionando C_p e C_v com \alpha e \kappa_T.

Passo 2

Vamos escrever C_{p} usando a expressão de dS aplicada a um processo à pressão constante. Como C_{p}=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{P}, avaliaremos \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{P} a partir da sugestão. Para variações com P constante, a variação de S quando T varia é
dS=\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{V}dT+\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T}dV.
Em um processo isobárico ( dP=0) temos dV=\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}dT. Substituindo em dS e comparando com dS=\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{P}dT obtemos
\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{P} = \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{V} + \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T} \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}.

Passo 3

Multiplicando a expressão anterior por T para obter C_{p} e isolando a diferença C_{p}-C_{v}, obtemos
C_{p}-C_{v} = T\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T} \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}.
Aqui usei a definição \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{V}=C_{v}/T (rearranjando a definição de C_v). Agora precisamos reescrever \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T} e \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P} em termos de \alpha e \kappa_T.

Passo 4

Para expressar \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T} usamos uma relação de Maxwell. Seja F a energia livre de Helmholtz F=U-TS. O diferencial é
dF=-S\,dT - P\,dV.
Logo S=-\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{V} e P=-\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T}. Igualando derivadas mistas de F (a ordem das derivadas não importa para F bem comportada) obtemos a relação de Maxwell
\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T} = \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}.
Portanto podemos substituir \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T} por \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} na expressão para C_p - C_v.

Passo 5

Agora precisamos escrever \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} em termos de \alpha e \kappa_{T}. Começamos da diferencial total de V(P,T):
dV=\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T}dP+\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}dT.
Se mantivermos V fixo ( dV=0) e variarmos T (então dP/dT na curva V= constante é \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}), temos
0=\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T}\left(\frac{dP}{dT}\right)_{V}+\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}.
Isolando,
\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} = - \frac{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}} {\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T}}.
Agora usamos as definições fornecidas:
\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}=V\alpha, \qquad \left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T}=-V\kappa_{T},
onde usamos \kappa_{T}=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T}. Substituindo:
\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} = - \frac{V\alpha}{-V\kappa_{T}} = \frac{\alpha}{\kappa_{T}}.

Passo 6

Retornando à expressão de C_{p}-C_{v},
C_{p}-C_{v} = T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}.
Substituindo \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}=\dfrac{\alpha}{\kappa_{T}} (Passo 5) e \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}=V\alpha (definição de \alpha), obtemos
C_{p}-C_{v} = T\left(\frac{\alpha}{\kappa_{T}}\right)\left(V\alpha\right) = T\frac{V\alpha^{2}}{\kappa_{T}}.

Passo 7

Concluímos então a relação desejada. Se quiser relacionar com as notações do enunciado, observe que \kappa_{T} corresponde ao -K_{T}^{-} como definido (na prática \kappa_{T} é a compressibilidade isotérmica dada no enunciado) e \alpha é o coeficiente de expansão térmica dado. A relação final é a forma usual encontrada em termodinâmica.

Resposta

C_{p}=C_{v}+T\frac{V\alpha^{2}}{\kappa_{T}}.

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