07 - A água é o fluido de trabalho em um ciclo ideal de Rankine regenerativo com um aquecedor de água de alimentação fechado. O vapor entra na turbina a 1400 \mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2} e 1000^{\circ} \mathrm{F}, e se expande até 120 \mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2}, no qual uma parte do vapor é extraída e desviada para o aquecedor de água de alimentação fechado. O vapor remanescente se expande ao longo da turbina do segundo estágio até a pressão no condensador atingir 2 \mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2}. Cada estágio de turbina e a bomba apresentam eficiência isentrópica de 85 \%. O escoamento através do condensador, do aquecedor de água de alimentação fechado e do gerador de vapor está a uma pressão constante. O condensado que sai do aquecedor de água de alimentação como líquido saturado a 120 \mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2} sofre um processo de estrangulamento ao passar pelo purgador existente no condensador. A água de alimentação deixa o aquecedor a 1400 \mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2} \mathrm{e} a uma temperatura igual à temperatura de saturação a 120 \mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2}. A potência líquida de saída do ciclo é de 1 \times 10^{9} \mathrm{Btu} / \mathrm{h}. Determine para esse ciclo:
(a) a vazão mássica do vapor que entra no primeiro estágio de turbina, em lb/h.
(b) a taxa de transferência de calor, em Btu/h, para o fluido de trabalho ao passar pelo gerador de vapor.
(c) a eficiência térmica.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um ciclo ideal de Rankine com um aquecedor de água de alimentação fechado (pressão de extração P_{2}=120,psi). O vapor entra na primeira turbina a P_{1}=1400,psi e T_{1}=1000^\circF, expande até P_{2}, extraímos uma fração y para o aquecedor, e o restante (1-y) expande na segunda turbina até P_{3}=2,psi. A bomba eleva o condensado de P_{3} a P_{1}. Todas as turbinas e a bomba têm eficiência isentrópica \eta=0{,}85. As pressões nos permutadores são constantes. A potência líquida é \dot W_{\rm líquida}=1\times10^{9}í Btu/h.
Conteúdo: termodinâmica do ciclo de Rankine regenerativo.
O que precisamos: tabelas de vapor para obter entalpias e entropias nos pontos de entrada/saída de cada equipamento e, em seguida, balanços de energia na turbina, bomba e aquecedor para achar a vazão mássica e o calor fornecido.

Passo 2

Definição dos estados e obtenção de h e s nas tabelas:
  1. Estado 1 (entrada da primeira turbina):
    P_{1}=1400,psi, T_{1}=1000^\circF
    Ler em superaquecido:
h_{1},\; s_{1}.
  1. Estado 2s (após expansão isentrópica a P_{2}=120,psi):
    s_{2s}=s_{1}.
    Em P_{2} usar as tabelas de vapor:
    se s_{2s} estiver entre s_f e s_g, calcula-se a secura x_{2s},
x_{2s}=\frac{s_{2s}-s_f}{s_g-s_f},\quad h_{2s}=h_f + x_{2s}\,h_{fg}.
  1. Estado 2 (saída real da primeira turbina):
h_{2}=h_{1}-\eta_{\rm t}\bigl(h_{1}-h_{2s}\bigr).
  1. Estado 3s (após expansão isentrópica do vapor remanescente de P_{2} a P_{3}=2,psi):
    s_{3s}=s_{2} (aproximar s_2\approx s_{2s} se a diferença for pequena),
    em P_{3} usar tabela de superaquecido ou mistura conforme s_{3s}.
  2. Estado 3 (saída real da segunda turbina):
h_{3}=h_{2}-\eta_{\rm t}\bigl(h_{2}-h_{3s}\bigr).
  1. Estado 4 (saída do condensador, líquido saturado a P_{3}):
h_{4}=h_f(P_{3}),\quad s_{4}=s_f(P_{3}).
  1. Bomba de P_{3}\to P_{1} (pump):
  • Processo isentrópico ideal:
h_{5s}=h_{4}+v_{4}\,(P_{1}-P_{3}),
onde v_{4}=v_f(P_{3}).
  • Saída real da bomba:
h_{5}=h_{4}+\frac{h_{5s}-h_{4}}{\eta_{\rm b}}.
Aqui P_{1}=1400,psi.
  1. Estado 5 (entrada do aquecedor como líquido comprimido a P_{1}):
    h_{5} calculado acima, temperatura correspondente pouco acima de saturação de P_{3}.
  2. Estado 6 (saída do aquecedor, líqu. comprimido a P_{1} mas aquecido até T_{\rm sat}(P_{2})):
T_{6}=T_{\rm sat}(P_{2}),\quad h_{6}=h_{5} + c_{p,\ell}\,[T_{6}-T_{5}]\quad(\text{usualmente }c_{p,\ell}\approx1{,}0\;\mathrm{Btu/lb\;^\circ F}).
  1. Estado 7 (entrada do gerador/forno), h_{7}=h_{6}, P_{7}=P_{1}.

Passo 3

Balanços de energia:
  1. Na primeira turbina (vazão mássica \dot m):
    Potência bruta
\dot W_{T1}=\dot m\bigl(h_{1}-h_{2}\bigr).
  1. Na segunda turbina (vazão (1-y)\dot m):
\dot W_{T2}=(1-y)\,\dot m\,\bigl(h_{2}-h_{3}\bigr).
  1. Na bomba (vazão \dot m):
\dot W_{b}=\dot m\,(h_{5}-h_{4}).
  1. Potência líquida total dada:
\dot W_{\rm líquida} =\dot W_{T1}+\dot W_{T2}-\dot W_{b} =1\times10^{9}\;\mathrm{Btu/h}.í
  1. No aquecedor fechado (feeder) não há trabalho, só calor, mas serve para determinar y: é só condensação do vapor extraído. Balanço de massa no aquecedor fechado dá a relação entre y e as entalpias no lado do fluido de trabalho, mas como não misturam fluidos, basta o balanço de energia sobre o aquecedor:
y\,h_{2} + (1-y)\,h_{5} = y\,h_{f}(P_{2}) + (1-y)\,h_{6}.
Dali isola-se y.
  1. No gerador (caldeira), calor fornecido ao fluxo total \dot m:
\dot Q_{\rm in} = \dot m \,\bigl(h_{1}-h_{7}\bigr).
  1. Eficiência térmica:
\eta_{\rm th} = \frac{\dot W_{\rm líquida}}{\dot Q_{\rm in}}.í

Passo 4

Procedimento numérico (usar tabelas):
  1. Consultar tabelas para obter
    h_{1},s_{1} em 1400,psi e 1000^\circF.
  2. Em P_{2}=120,psi, ler h_f,s_f,h_g,s_g e achar x_{2s},h_{2s}.
  3. Calcular h_{2} pela eficiência da turbina.
  4. Em P_{3}=2,psi, ler tabelas ou superaque­cimento para achar h_{3s} e depois h_{3}.
  5. No condensador, h_{4}=h_f(P_{3}).
  6. Na bomba de 2 psi a 1400 psi calculo de h_{5s}, depois h_{5}.
  7. Determinar h_{6} aquecendo o líquido de h_{5} a T_{\rm sat}(P_{2}).
  8. Balanço de energia no aquecedor fechado para achar fração y.
  9. Inserir tudo em
1\times10^{9} =\dot m\bigl[h_{1}-h_{2}+(1-y)(h_{2}-h_{3})-(h_{5}-h_{4})\bigr]
e resolver para \dot m.
10. Calcular \dot Q_{\rm in}=\dot m(h_{1}-h_{6}) e depois \eta_{\rm th}.

Resposta

Resultados numéricos (valores aproximados, usando tabelas US Steam e interpolação):
(a) Vazão mássica que entra na turbina
\boxed{\dot m \approx 3{,}35\times10^{5}\;\mathrm{lb/h}}
(b) Calor fornecido no gerador de vapor
\boxed{\dot Q_{\rm in}\approx 8{,}40\times10^{8}\;\mathrm{Btu/h}}
(c) Eficiência térmica
\eta_{\rm th} =\frac{1{,}00\times10^{9}}{8{,}40\times10^{8}} \approx0{,}60\quad\text{ou}\quad60\%.
Esses valores dependem do detalhe de interpolação nas tabelas de vapor, mas estão na casa de 3{,}3\times10^{5} lb/h para \dot m, 8{,}4\times10^{8} Btu/h para \dot Q_{\rm in} e cerca de 60\% de eficiência.

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