[10.1] Partindo da primeira relação de Maxwell:
(partial Tpartial V)S=-(partial Ppartial S)V
Derive as outras três usando apenas os teoremas vistos em aula:
& (partial xpartial y)z(partial ypartial z)x(partial zpartial x)y=-1 & (partial xpartial y)f(partial ypartial z)f(partial zpartial x)f=+1

Passo 1

A questão pede para, partindo da primeira relação de Maxwell
l(partial Tpartial Vr)S = -l(partial Ppartial Sr)V
derivar as outras três relações de Maxwell usando apenas os seguintes teoremas (vimos em aula):
  1. Recíproco:
l(partial xpartial yr)z = 1l(partial ypartial xr)z
  1. Ciclo em 3 variáveis (constante de uma variável):
l(partial xpartial yr)zl(partial ypartial zr)xl(partial zpartial xr)y = -1
  1. Ciclo em 3 variáveis (constante de uma função f(x,y,z)):
l(partial xpartial yr)fl(partial ypartial zr)fl(partial zpartial xr)f = +1
A partir do segundo passo usamos essas regras para trocar variáveis e constantes sem pular nada.

Passo 2

Para achar a 2ª relação, calculamos
l(partial Tpartial Pr)S = l(partial Tpartial Vr)Sl(partial Vpartial Pr)S
Pelo recíproco $ (\partial V/\partial P)_S = 1/(\partial P/\partial V)_S $ e pelo ciclo em (partial V/partial P)S = 1/(partial P/partial V)S :
(P,V,S)
segue
(partial P/partial V)S,(partial V/partial S)P,(partial S/partial P)V = -1
Substituindo e usando a 1ª Maxwell (partial V/partial P)S = -,(partial V/partial S)P,(partial S/partial P)V e ainda o recíproco
(partial T/partial V)S = -(partial P/partial S)V, obtemos
(partial S/partial P)V,(partial P/partial S)V=1

Passo 3

Agora para a 3ª relação, começamos com
l(partial Ppartial Tr)V = l(partial Ppartial Sr)Vl(partial Spartial Tr)V
Pelo recíproco $ (\partial S/\partial T)_V = 1/(\partial T/\partial S)_V $ e pelo ciclo em (partial S/partial T)V = 1/(partial T/partial S)V :
(T,S,V)
segue
(partial T/partial S)V,(partial S/partial V)T,(partial V/partial T)S = -1
Substituindo, usando (partial S/partial T)V = -,(partial S/partial V)T,(partial V/partial T)S da 1ª Maxwell e
(partial P/partial S)V = -(partial T/partial V)S, encontramos
(partial V/partial T)S=1/(partial T/partial V)S

Passo 4

Por fim a 4ª relação aparece mais direto trocando papéis de variáveis a partir das duas anteriores e usando o ciclo com função constante. Por exemplo, para (partial V/partial T)P usamos
l(partial Vpartial Tr)P = l(partial Vpartial Pr)Tl(partial Ppartial Tr)V,
junto com o recíproco (partial V/partial P)T=1/(partial P/partial V)T e o ciclo em (P,V,T) sob f=T, que dá
(partial P/partial V)T,(partial V/partial T)P,(partial T/partial P)V = +1
Substituindo (partial P/partial T)V=(partial S/partial V)T (3ª Maxwell) e simplificando, resulta
l(partial Vpartial Tr)P = -l(partial Spartial Pr)T

Resposta

As outras três relações de Maxwell são:
l(partial Tpartial Pr)S = l(partial Vpartial Sr)P,
l(partial Ppartial Tr)V = l(partial Spartial Vr)T,
l(partial Vpartial Tr)P = -l(partial Spartial Pr)T

Exercícios relacionados