[10.4] Derive as seguintes equações:
(a)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a energia interna U pode ser obtida a partir da energia livre de Helmholtz A por duas fórmulas equivalentes: U = –T (∂A/∂T)₍ᵥ₎ e U = –T² [∂(A/T)/∂T]₍ᵥ₎. O conteúdo é termodinâmica (energia livre de Helmholtz, energia interna e entropia) e vamos usar definições de A e propriedades de derivadas parciais.

Passo 2

Começamos lembrando da definição da energia livre de Helmholtz:
A = U - T S
Isolando U, obtemos
U = A + T S

Passo 3

Mas sabemos também que, a partir da forma diferencial de A (em V constante), a entropia S satisfaz
S = -l(partial Apartial Tr)V
Substituindo S em U = A + T S segue
Logo, chegamos à primeira expressão desejada:
U = A + T l[-l(partial Apartial Tr)Vr] = A - T l(partial Apartial Tr)V

Passo 4

Para obter a segunda forma, consideramos a derivada de quociente A/T em relação a T (mantendo V constante). Usando a regra de derivação:
partialpartial Tl(ATr) = T,partial Apartial T - AT^2
Multiplicando ambos os lados por –T² dá
-T^2partialpartial Tl(ATr) = -l[T,partial Apartial T - Ar] = A - Tl(partial Apartial Tr)V
E, como já vimos, A - T(partial A/partial T)V = U. Assim,
U = -T^2l[partialpartial Tl(ATr)r]V

Resposta

U = -Tl(partial Apartial Tr)V = -T^2l[partial,(A/T)partial Tr]V

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