[10.4] Derive as seguintes equações:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a energia interna U pode ser obtida a partir da energia livre de Helmholtz A por duas fórmulas equivalentes: U = –T (∂A/∂T)₍ᵥ₎ e U = –T² [∂(A/T)/∂T]₍ᵥ₎. O conteúdo é termodinâmica (energia livre de Helmholtz, energia interna e entropia) e vamos usar definições de A e propriedades de derivadas parciais.
Passo 2
Começamos lembrando da definição da energia livre de Helmholtz:
Isolando U, obtemos
Passo 3
Mas sabemos também que, a partir da forma diferencial de A (em V constante), a entropia S satisfaz
Substituindo S em U = A + T S segue
Logo, chegamos à primeira expressão desejada:
Passo 4
Para obter a segunda forma, consideramos a derivada de quociente
em relação a T (mantendo V constante). Usando a regra de derivação:
Multiplicando ambos os lados por –T² dá
E, como já vimos,
. Assim,