[10.3] Da equação diferencial para o Potencial de Helmholtz A(T, V) :
d A=-S d T-P d V
Derive expressões para a pressão P, a Entropia S, a Energia Interna U, capacidade térmica a volume constante CP, capacidade térmica a pressão constante CP, expansividade volumétrica beta e compressibilidade isotérmica kappa.

Passo 1

O enunciado parte da diferencial do potencial de Helmholtz A(T,V), dado por dA=-S,dT-P,dV. O objetivo é usar essa relação para achar expressões gerais para pressão P, entropia S, energia interna U, capacidades térmicas CV e CP, expansividade volumétrica beta e compressibilidade isotérmica kappa. Vamos usar teoria de diferenciais exatas e definições termodinâmicas básicas.

Passo 2

Partindo de dA=(partial A/partial T)V,dT+(partial A/partial V)T,dV e comparando com dA=-S,dT-P,dV, identificamos diretamente: S=-l(partial Apartial Tr)Ve P=-l(partial Apartial Vr)T

Passo 3

Para expressar a energia interna, lembramos da relação de Legendre entre A e U: A=U-TS. Invertendo, U=A+TS=A-Tl(partial Apartial Tr)V

Passo 4

A capacidade térmica a volume constante é definida por CV=(partial U/partial T)V. Derivando U(T,V) em relação a T a V constante, obtemos CV=-Tl(partial^2Apartial T^2r)V

Passo 5

Para CP=T(partial S/partial T)P, usamos regra da cadeia em S(T,V(T,P)) e a relação de Maxwell (partial S/partial V)T=(partial P/partial T)V= -ATV. Após manipulações, chega-se a CP=CV - T,l(partial^2A/partial Tpartial Vr)^2partial^2A/partial V^2

Passo 6

A expansividade volumétrica é definida por beta=(1/V)(partial V/partial T)P. Invertendo a equação de estado P=-AV e diferenciando, obtemos beta=-1Vpartial^2A/partial Tpartial Vpartial^2A/partial V^2

Passo 7

A compressibilidade isotérmica é kappa=-tfrac1V(partial V/partial P)T. Como (partial P/partial V)T=-AVV, então (partial V/partial P)T=-1/AVV e logo kappa=1V1partial^2A/partial V^2

Resposta

As expressões finais são:
P=-l(partial Apartial Vr)T
S=-l(partial Apartial Tr)V
U=A+TS=A-Tl(partial Apartial Tr)V
CV=-Tl(partial^2Apartial T^2r)V
CP=CV - T,l(partial^2A/partial Tpartial Vr)^2partial^2A/partial V^2
beta=-1Vpartial^2A/partial Tpartial Vpartial^2A/partial V^2
kappa=1V1partial^2A/partial V^2

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