[10.4] Derive as seguintes equações:
© (Equação de Gibbs-Helmholtz)

Passo 1

Neste exercício vamos derivar a equação de Gibbs–Helmholtz que expressa a entalpia em função da energia livre de Gibbs e suas variações com a temperatura a pressão constante. O conteúdo principal é termodinâmica, usando a definição de energia livre de Gibbs e as relações entre as grandezas termodinâmicas para chegar em
H = G – T(∂G/∂T)_P
e depois em
H = –T²[∂(G/T)/∂T]_P.

Passo 2

Em termodinâmica, a variação diferencial de G é dada por
dG = -S,dT + V,dP
Em processo a pressão constante (dP = 0), extraímos
(partial Gpartial T)P = -S

Passo 3

Também sabemos que a definição de energia livre de Gibbs relaciona G, H e S por
G = H - T S
Isolando H, obtemos
H = G + T S
Substituindo S = –(∂G/∂T)_P, resulta em
H = G - T(partial Gpartial T)P

Passo 4

Para obter a forma alternativa, definimos f(T) = G/T e derivamos em T a pressão constante:
ddT(GT)P = 1T(partial Gpartial T)P - GT^2
Multiplicando ambos os lados por –T², chega-se a
-T^2ddT(GT)P = G - T(partial Gpartial T)P = H

Passo 5

Assim, derivamos as duas formas da equação de Gibbs–Helmholtz.

Resposta

H = G - T(partial Gpartial T)P = -T^2[partial(G/T)partial T]P

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