10.63 Um tanque com isolamento térmico possui uma entrada de ar, \omega_{1}=0,0084 \mathrm{~kg} de água por kg de ar seco, e uma saída T_{2}=22^{\circ} \mathrm{C} e \phi_{2}=90 \%, ambos a 100 kPa . Uma terceira linha pulveriza 0,25 \mathrm{kg} / \mathrm{s} de água a 80^{\circ} \mathrm{C} e 100 kPa . Para operação em regime permanente, determine a umidade específica de saída, a vazão mássica de ar necessária e a temperatura requerida do ar de entrada, T_{1}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas: a umidade específica de saída, a vazão mássica de ar necessária e a temperatura do ar de entrada T_{1}. As informações fornecidas são:
\omega_{1}=0,0084 (umidade específica do ar de entrada, em \mathrm{kg} água por \mathrm{kg} ar seco),
saída com T_{2}=22^\circ\mathrm{C} e \phi_{2}=90\% (ambos a 100\\ \mathrm{kPa}),
uma terceira linha pulveriza água líquida com vazão mássica \dot{m}_{w}=0,25\\ \mathrm{kg/s} a T_{w}=80^\circ\mathrm{C} e 100\\ \mathrm{kPa}.
O tanque é termicamente isolado e a operação é em regime permanente. Portanto: massa de ar seco que entra = que sai; parte da água pulverizada evapora e aumenta a umidade do ar até a condição de saída indicada. Vamos calcular primeiro a umidade de saída \omega_{2}, depois a vazão mássica de ar \dot{m}_a pela balanço de massa de água, e por fim T_{1} pelo balanço de energia (adiabático).

Passo 2

Calcular a umidade específica de saída \omega_{2} a partir de T_{2} e \phi_{2}.
Explicação da fórmula: a umidade específica (ou razão de mistura) \omega relaciona a pressão parcial do vapor de água p_{v} com a pressão total P:
\omega = 0,622\,\frac{p_{v}}{P-p_{v}}.
Aqui P=100\\ \mathrm{kPa}. Para obter p_{v} usamos p_{v}=\varphi\,p_{ws}(T), onde p_{ws}(T) é a pressão de saturação do vapor à temperatura T. Vou usar a fórmula de Tetens (boa aproximação para 0–50°C):
p_{ws}(T)=0,61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right)\\ \mathrm{kPa},\quad T\text{ em }^\circ\mathrm{C}.
Calcule p_{ws} em T_{2}=22^\circ\mathrm{C}:
p_{ws}(22)=0,61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot22}{22+237{,}3}\right) =0,61078\exp(1{,}465)\approx 2{,}645\\ \mathrm{kPa}.
Então p_{v}=0{,}90\cdot 2{,}645=2{,}3805\\ \mathrm{kPa}.
Agora a umidade específica de saída:
\omega_{2}=0{,}622\frac{2{,}3805}{100-2{,}3805} =0{,}622\frac{2{,}3805}{97{,}6195}\approx 0{,}01517\\ \mathrm{kg\; água/kg\; ar\\ seco}.á

Passo 3

Balanço de massa de água para achar a vazão mássica de ar seco \dot{m}_a.
Explicação do raciocínio: em regime permanente e com apenas as três linhas (ar entrada, ar saída, água pulverizada) o balanço de massa de água (vapor) por unidade de tempo é:
\dot{m}_a\,\omega_{1}+\dot{m}_{w}=\dot{m}_a\,\omega_{2},
onde \dot{m}_a é a vazão mássica de ar seco (kg/s) e \dot{m}_{w}=0{,}25\\ \mathrm{kg/s} é a água pulverizada (presumimos que essa água evapora o suficiente para aumentar a umidade até \omega_{2}). Reorganizando:
\dot{m}_a=\frac{\dot{m}_{w}}{\omega_{2}-\omega_{1}}.
Substituindo \omega_{1}=0{,}0084 e \omega_{2}=0{,}01517:
\dot{m}_a=\frac{0{,}25}{0{,}01517-0{,}0084}=\frac{0{,}25}{0{,}00677}\approx 36{,}9\\ \mathrm{kg/s}.
Observação: o denominador é a quantidade de água (kg vapor) ganha por kg de ar seco; multiplicando por \dot{m}_a dá a água total evaporada por segundo, que deve ser igual a \dot{m}_w.

Passo 4

Balanço de energia (adiabático) para determinar T_{1}.
Explicação das entalpias usadas: a entalpia total do ar úmido por kg de ar seco é dada (aproximação padrão em psicrometria) por
h = c_{pa}\,T + \omega\,(2501 + 1{,}86\,T)\quad\text{em kJ/kg ar seco},
onde T em ^\circ\mathrm{C}, c_{pa}=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)} (calor específico do ar seco), 2501\\ \mathrm{kJ/kg} é o calor latente aproximado de vaporização à referência e 1{,}86\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)} é o calor específico do vapor de água (aprox.). A entalpia da água líquida à temperatura T_w (referida a 0^\circ\mathrm{C}) é aproximada por
h_{w}=c_{pw}\,T_w,\quad c_{pw}=4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)}.
Balanço de energia por tempo (sem troca com o meio, tanque isolado):
\dot{m}_a\,h_{1}+\dot{m}_{w}\,h_{w}=\dot{m}_a\,h_{2},
onde h_{1} é a entalpia do ar úmido de entrada (função de T_{1} e \omega_{1}) e h_{2} é a entalpia do ar úmido de saída (conhecida via T_{2} e \omega_{2}). Reescrevendo:
h_{2}-h_{1}=\frac{\dot{m}_{w}}{\dot{m}_a}\,h_{w}.
Definindo r=\dot{m}_{w}/\dot{m}_a (já sabemos numericamente que r=\omega_{2}-\omega_{1} pelo balanço de massa), desenvolvemos h_{2}-h_{1} em função de T_{1}:
\begin{aligned} h_{2}-h_{1} &= c_{pa}(T_{2}-T_{1})+\omega_{2}\bigl(2501+1{,}86T_{2}\bigr)-\omega_{1}\bigl(2501+1{,}86T_{1}\bigr) \\\ &= \bigl(c_{pa}+1{,}86\,\omega_{2}\bigr)T_{2}-\bigl(c_{pa}+1{,}86\,\omega_{1}\bigr)T_{1}+2501(\omega_{2}-\omega_{1}). \end{aligned}
Igualando a r\,h_{w} e lembrando r=\omega_{2}-\omega_{1}, obtemos uma equação linear para T_{1}:
\bigl(c_{pa}+1{,}86\,\omega_{1}\bigr)T_{1}=\bigl(c_{pa}+1{,}86\,\omega_{2}\bigr)T_{2}+(\omega_{2}-\omega_{1})\bigl(2501-h_{w}\bigr).
Assim
T_{1}=\frac{\bigl(c_{pa}+1{,}86\,\omega_{2}\bigr)T_{2}+(\omega_{2}-\omega_{1})\bigl(2501-h_{w}\bigr)}{c_{pa}+1{,}86\,\omega_{1}}.

Passo 5

Substituir números e calcular T_{1}.
Constantes e valores numéricos:
c_{pa}=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)},\qquad c_{pw}=4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)},
h_{w}=c_{pw}T_{w}=4{,}18\cdot 80=334{,}4\\ \mathrm{kJ/kg},
\omega_{1}=0{,}0084,\qquad \omega_{2}=0{,}01517,\qquad T_{2}=22^\circ\mathrm{C}.
Calcule os coeficientes:
c_{pa}+1{,}86\,\omega_{2}=1{,}005+1{,}86\cdot 0{,}01517\approx 1{,}03324,
c_{pa}+1{,}86\,\omega_{1}=1{,}005+1{,}86\cdot 0{,}0084\approx 1{,}02062,
\omega_{2}-\omega_{1}=0{,}00677,
2501-h_{w}=2501-334{,}4=2166{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}.
Agora o numerador:
\bigl(1{,}03324\bigr)\cdot 22 + 0{,}00677\cdot 2166{,}6 =22{,}7313 + 14{,}6766 \approx 37{,}4079.
Dividindo pelo denominador 1{,}02062:
T_{1}\approx \frac{37{,}4079}{1{,}02062}\approx 36{,}63^\circ\mathrm{C}.
Pequena verificação rápida (consistência energética): com esses valores as entalpias por kg ar seco dão um balanço que fecha (cheque numérico rápido se quiser), portanto o resultado é consistente.

Resposta

\omega_{2}=0{,}01517\\ \mathrm{kg\; água/kg\; ar\\ seco}á
\dot{m}_a=36{,}9\\ \mathrm{kg/s}
T_{1}=36{,}6^\circ\mathrm{C}

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