4.119 For the steam power plant shown in Problem 4.118, assume that the cooling water comes from a lake at 15^{\circ} \mathrm{C} and is returned at 25^{\circ} \mathrm{C}. Determine the rate of heat transfer in the condenser and the mass flow rate of cooling water from the lake.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a taxa de transferência de calor no condensador e a vazão mássica de água de resfriamento vinda do lago.
Informações explícitas que o enunciado forneceu (da sua mensagem): a água de resfriamento entra no condensador a \,15^\circ\mathrm{C}\, e sai a \,25^\circ\mathrm{C}\,.
Informações que NÃO foram fornecidas (e que são necessárias): a taxa de calor rejeitada pelo vapor no condensador (ou, equivalentemente, a vazão mássica de vapor e as entalpias do vapor na entrada e saída do condensador). O enunciado refere-se à “planta mostrada no Problema 4.118”, mas você não enviou essa figura nem os dados desse problema (por exemplo, \dot m_{\text{vapor}} e h do vapor, ou potência/taxa térmica do ciclo). Sem esses dados precisos não é possível obter valores numéricos únicos para \dot Q_{cond} e para \dot m_{\text{água}}á.

Passo 2

Conceito físico e fórmula básica (lado da água de resfriamento). A energia removida pelo condensador é absorvida pela água de resfriamento, que sofre um aquecimento de \,15^\circ\mathrm{C} para \,25^\circ\mathrm{C}. A relação é:
\dot Q_{cond}=\dot m_w\,c_p\,(T_{out}-T_{in}),
onde
  • \dot Q_{cond} é a taxa de calor rejeitada pelo condensador (unidade: \mathrm{kW} ou \mathrm{kJ/s}),
  • \dot m_w é a vazão mássica da água de resfriamento (unidade: \mathrm{kg/s}),
  • c_p é o calor específico da água (unidade: \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}),
  • T_{in} e T_{out} são temperaturas de entrada e saída da água (em ^\circ\mathrm{C} ou K; a diferença de temperatura é a mesma em K).
Explanação didática: essa equação vem da conservação de energia para a corrente de água assumindo calor sensível somente (sem trocas de fase). A água ganha energia igual à massa por segundo vezes a quantidade de energia por unidade de massa necessária para aumentar sua temperatura.

Passo 3

Valor prático de c_p e cálculo da diferença de temperatura. Para água líquida perto de temperatura ambiente podemos usar c_p\approx 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. A diferença de temperatura é
T_{out}-T_{in}=25^\circ\mathrm{C}-15^\circ\mathrm{C}=10\\ \mathrm{K}.
Substituindo esses valores na equação do passo anterior:
\dot Q_{cond}=\dot m_w\,(4{,}18)\,(10)=41{,}8\,\dot m_w\quad\text{(unidade: kW se \(\dot m_w\) em kg/s)}.
Interpretação: cada 1\\ \mathrm{kg/s} de água transporta aproximadamente 41{,}8\\ \mathrm{kW} de calor com esse aumento de 10\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Conceito no lado do vapor (condensador). A taxa de calor rejeitada pelo condensador também é a redução de energia do vapor que condensa:
\dot Q_{cond}=\dot m_s\,(h_{in}-h_{out}),
onde
  • \dot m_s é a vazão mássica do vapor que entra no condensador (kg/s),
  • h_{in} e h_{out} são as entalpias específicas do vapor na entrada e na saída do condensador (kJ/kg). Normalmente h_{in} é a entalpia do vapor úmido/saída de turbina e h_{out} é a entalpia do líquido condensado (próxima à entalpia de líquido saturado à pressão do condensador).
Explicação: é a mesma conservação de energia aplicada ao vapor — a energia liberada pelo vapor ao entrar em fase líquida é a energia absorvida pela água de resfriamento.

Passo 5

Como relacionar os dois lados para encontrar \dot m_w. Igualando as duas expressões para \dot Q_{cond}:
\dot m_w\,c_p\,(T_{out}-T_{in})=\dot m_s\,(h_{in}-h_{out}).
Dessa igualdade isolamos a vazão mássica de água:
\dot m_w=\frac{\dot m_s\,(h_{in}-h_{out})}{c_p\,(T_{out}-T_{in})}.
Significado prático: se você sabe quanta massa de vapor por segundo está sendo condensada e quanto de entalpia cada kg de vapor perde, então divide essa potência térmica pelo ganho por kg de água (que é c_p\Delta T) para obter quantos kg/s de água são necessários.

Passo 6

O que eu faria com os dados do Problema 4.118 (procedimento passo a passo que você deve aplicar na prova)
  1. Obter de 4.118 o valor de \dot m_s (kg/s) e as entalpias h_{in} e h_{out} (kJ/kg). Se em 4.118 foi dada apenas potência elétrica e rendimentos, seguir a cadeia do ciclo para encontrar \dot Q_{cond} (mas isso depende do enunciado e das propriedades do vapor).
  2. Calcular \dot Q_{cond}=\dot m_s\,(h_{in}-h_{out}) (kW).
  3. Calcular \dot m_w=\dot Q_{cond}/\bigl(c_p (T_{out}-T_{in})\bigr) usando c_p=4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e \Delta T=10\\ \mathrm{K}.
  4. Verificar unidades (kJ/s = kW; resultado em kg/s). Converter para kg/h ou m^3/s se necessário (densidade da água ~ 1000\\ \mathrm{kg/m^3}).

Passo 7

Exemplo numérico ilustrativo (apenas para mostrar o cálculo; não é solução do seu problema porque falta o dado). Suponha hipoteticamente que \dot m_s=5{,}0\\ \mathrm{kg/s} e h_{in}-h_{out}=2200\\ \mathrm{kJ/kg}. Então
\dot Q_{cond}=5{,}0\times 2200=11000\\ \mathrm{kW}.
Com \Delta T=10\\ \mathrm{K} e c_p=4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},
\dot m_w=\frac{11000}{4{,}18\times 10}=\frac{11000}{41{,}8}\approx 263{,}2\\ \mathrm{kg/s}.
Isso mostra como aplicar as fórmulas; mas repito: os valores acima são apenas um exemplo.

Passo 8

Conclusão prática para o seu enunciado: como a figura e os dados do Problema 4.118 não foram enviados, não é possível calcular numericamente \dot Q_{cond} nem \dot m_w. Para obter os números você deve usar as fórmulas dos passos anteriores assim que tiver um dos seguintes dados:
  • \dot m_s e h_{in}-h_{out} (então calcule \dot Q_{cond} e em seguida \dot m_w), ou
  • diretamente \dot Q_{cond} (então calcule \dot m_w=\dot Q_{cond}/(4{,}18\times 10)).

Resposta

Não é possível determinar numericamente \dot Q_{cond} nem \dot m_{\text{água}}á porque faltam os dados da planta do Problema 4.118 (por exemplo \dot m_{\text{vapor}} e as entalpias ou \dot Q_{cond}).

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