4.10 Uma bomba de volume V_{B} contém n moles de gás a alta pressão. Ligado à bomba está um tubo capilar através do qual o gás pode lentamente escapar para a atmosfera, onde a pressão é P_{0}. Envolvendo a bomba e o tubo capilar está um banho de água, no qual está imerso um resistor elétrico. O gás é deixado escapar lentamente através do capilar para a atmosfera enquanto, ao mesmo tempo, energia elétrica é dissipada no resistor num tal regime que a temperatura do gás, da bomba, do tubo capilar e da água é conservada igual à temperatura do ar exterior. Demonstre que, após tanto gás quanto for possível tiver escapado durante o tempo \tau, a variação de energia interna é
\Delta U=\mathcal{E}_{i \tau}-P_{0}\left(n v_{0}-\dot{V}_{B}\right),
onde v_{0} é o volume molar do gás à pressão atmosférica, \mathcal{E} é a diferença de potencial entre os bornes do resistor e i é a corrente no resistor.

Passo 1

O enunciado descreve uma bomba cujo volume é V_{B} e que contém n mols de gás a alta pressão, ligado a um capilar por onde o gás escapa lentamente para a atmosfera à pressão P_{0}. Tudo permanece a uma mesma temperatura constante (banho d’água + resistor). Em tempo \tau escapa a maior parte do gás possível. Queremos calcular a variação de energia interna \Delta U do gás que ficou na bomba e no capilar. O conteúdo usado será a Primeira Lei da Termodinâmica para sistemas com variação de massa, identificando calor trocado (fornecido pelo resistor) e trabalho realizado pelo gás.

Passo 2

Definimos o sistema como todo o gás que estava inicialmente na bomba e no capilar. Durante o processo:
– Entra calor Q fornecido pelo resistor, dado por
Q = \int_{0}^{\tau} \mathcal{E}\,i \,\mathrm{d}t.
– Sai massa (gás) para a atmosfera; não há entrada de massa.
– Realiza-se trabalho sobre o entorno em duas partes:
  1. Trabalho de expansão do pistão da bomba contra P_{0}, igual a P_{0}\,\Delta V_{B}.
  2. Trabalho de “flow‐work” para expulsar cada mol de gás para a atmosfera: ao sair um mol, cria-se volume molar v_{0} contra P_{0}, gerando trabalho P_{0}\,v_{0} por mol.

Passo 3

Escrevemos a Primeira Lei para o gás (sistema aberto com só saída de massa):
\Delta U \;=\; Q \;-\; W_{\text{total}},
onde
W_{\text{total}} =\;P_{0}\,\Delta V_{B}\;+\;P_{0}\,v_{0}\,\bigl(n_{\text{inicial}}-n_{\text{final}}\bigr).
Chamamos de \Delta V_{B}=V_{B}(\tau)-V_{B}(0) a variação de volume da bomba, e n_{\text{inicial}}-n_{\text{final}} o número de mols que escaparam.

Passo 4

Substituindo Q e W_{\text{total}} na Primeira Lei, obtemos
\Delta U =\int_{0}^{\tau}\mathcal{E}\,i\,\mathrm{d}t \;-\;P_{0}\,\Delta V_{B} \;-\;P_{0}\,v_{0}\,(n_{\text{inicial}}-n_{\text{final}}).
Como n_{\text{inicial}}=n e n_{\text{final}}<n, definimos n\,v_{0}-\dot V_{B}=v_{0}(n_{\text{inicial}}-n_{\text{final}})+\Delta V_{B} (notação do enunciado).

Passo 5

Reagrupando termos, a variação de energia interna do gás que permaneceu é
\Delta U =\int_{0}^{\tau}\mathcal{E}\,i\,\mathrm{d}t \;-\;P_{0}\bigl(n\,v_{0}-\dot V_{B}\bigr).

Resposta

\Delta U =\mathcal{E}_{i\tau} -\;P_{0}\bigl(n\,v_{0}-\dot V_{B}\bigr),
em que \mathcal{E}_{i\tau}=\int_{0}^{\tau}\mathcal{E}\,i\,\mathrm{d}t.

Exercícios relacionados