4.10 Uma bomba de volume
contém
moles de gás a alta pressão. Ligado à bomba está um tubo capilar através do qual o gás pode lentamente escapar para a atmosfera, onde a pressão é
. Envolvendo a bomba e o tubo capilar está um banho de água, no qual está imerso um resistor elétrico. O gás é deixado escapar lentamente através do capilar para a atmosfera enquanto, ao mesmo tempo, energia elétrica é dissipada no resistor num tal regime que a temperatura do gás, da bomba, do tubo capilar e da água é conservada igual à temperatura do ar exterior. Demonstre que, após tanto gás quanto for possível tiver escapado durante o tempo
, a variação de energia interna é
onde
é o volume molar do gás à pressão atmosférica,
é a diferença de potencial entre os bornes do resistor e
é a corrente no resistor.
Passo 1
O enunciado descreve uma bomba cujo volume é
e que contém
mols de gás a alta pressão, ligado a um capilar por onde o gás escapa lentamente para a atmosfera à pressão
. Tudo permanece a uma mesma temperatura constante (banho d’água + resistor). Em tempo
escapa a maior parte do gás possível. Queremos calcular a variação de energia interna
do gás que ficou na bomba e no capilar. O conteúdo usado será a Primeira Lei da Termodinâmica para sistemas com variação de massa, identificando calor trocado (fornecido pelo resistor) e trabalho realizado pelo gás.
Passo 2
Definimos o sistema como todo o gás que estava inicialmente na bomba e no capilar. Durante o processo:
– Entra calor fornecido pelo resistor, dado por
– Entra calor
– Sai massa (gás) para a atmosfera; não há entrada de massa.
– Realiza-se trabalho sobre o entorno em duas partes:
– Realiza-se trabalho sobre o entorno em duas partes:
- Trabalho de expansão do pistão da bomba contra
, igual a . - Trabalho de “flow‐work” para expulsar cada mol de gás para a atmosfera: ao sair um mol, cria-se volume molar
contra , gerando trabalho por mol.
Passo 3
Escrevemos a Primeira Lei para o gás (sistema aberto com só saída de massa):
onde
Chamamos de
a variação de volume da bomba, e
o número de mols que escaparam.
Passo 4
Substituindo
e
na Primeira Lei, obtemos
Como
e
, definimos
(notação do enunciado).
Passo 5
Reagrupando termos, a variação de energia interna do gás que permaneceu é
Resposta
em que
.