O ar a 10^{\circ} \mathrm{C} e 80 kPa entra no difusor de um motor a jato com uma velocidade de 200 \mathrm{m} / \mathrm{s}. A área de entrada do difusor é de 0,4 \mathrm{~m}^{2} . \mathrm{O} ar sai do difusor com uma velocidade muito pequena comparada à velocidade de entrada. Determine:
a) a vazão mássica de ar
b) A temperatura do ar na saída do difusor.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
a) a vazão mássica de ar que entra no difusor;
b) a temperatura do ar na saída do difusor, sabendo que a velocidade de saída é muito pequena em comparação com a de entrada.
Dados fornecidos (vou listar exatamente como vieram):
\begin{aligned} &\text{Temperatura de entrada: } T_1 = 10^\circ\mathrm{C} \\\ &\text{Pressão de entrada: } p_1 = 80\\ \mathrm{kPa} \\\ &\text{Velocidade de entrada: } V_1 = 200\\ \mathrm{m/s} \\\ &\text{Área de entrada: } A_1 = 0{,}4\\ \mathrm{m^2} \\\ &\text{Velocidade de saída: } V_2\\ \text{é desprezível (}\approx 0\text{).} \end{aligned}ãÁíéí
Esses são todos os dados que usaremos. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Decisão do método (explicação didática e por que escolhi):
  • Para a vazão mássica usamos a equação da continuidade no regime estacionário: a vazão mássica é \dot m = \rho A V. Como não temos \rho imediatamente, vamos obter a densidade pelo gás ideal.
  • Para a temperatura de saída aplicamos a equação de energia para escoamento estacionário e adiabático sem trabalho de eixo e desprezando energia potencial: a redução da energia cinética é convertida em energia interna (aumenta a temperatura). Em fluidos perfeitos h = c_p T, então usaremos a relação
c_p T_1 + \frac{V_1^2}{2} = c_p T_2 + \frac{V_2^2}{2}.
Como V_2\approx 0, isso simplifica.
Escolhi essas relações porque são as mais diretas e básicas para escoamentos compressíveis pouco intensos: ideal-gás para obter densidade e balanço energético para a conversão da energia cinética em temperatura. Vamos aplicá-las passo a passo.

Passo 3

Calcular a densidade de entrada pelo gás ideal (aula rápida do conceito):
A equação do gás ideal para densidade é
\rho = \frac{p}{R\,T}.
Aqui \rho é a densidade em \mathrm{kg/m^3}, p a pressão em \mathrm{Pa}, R é a constante específica do ar e T é a temperatura absoluta em \mathrm{K}.
Valores numéricos e conversões:
\begin{aligned} &T_1 = 10^\circ\mathrm{C} = 10 + 273{,}15 = 283{,}15\\ \mathrm{K},\\\ &p_1 = 80\\ \mathrm{kPa} = 80\,000\\ \mathrm{Pa},\\\ &R_{\text{ar}} &= 287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\\ (\text{constante para o ar}). \end{aligned}
Agora calculamos \rho_1:
\rho_1 = \frac{80000}{287 \times 283{,}15}.
Faço a multiplicação do denominador:
287\times 283{,}15 = 81264{,}05.
Portanto
\rho_1 = \frac{80000}{81264{,}05}\approx 0{,}9844\\ \mathrm{kg/m^3}.
Interprete: cerca de 0{,}98\\ \mathrm{kg/m^3} é razoável para ar a baixa pressão e 10°C.

Passo 4

Calcular a vazão mássica usando continuidade (aula rápida):
A vazão mássica em regime estacionário é
\dot m = \rho_1\, A_1\, V_1.
Substituindo:
\dot m = 0{,}9844 \times 0{,}4 \times 200.
Calculo intermediário: 0{,}4\times 200 = 80. Logo
\dot m = 0{,}9844 \times 80 \approx 78{,}8\\ \mathrm{kg/s}.
Interpretação: isso significa que por segundo entram aproximadamente 78{,}8\\ \mathrm{kg} de ar pelo difusor.

Passo 5

Calcular a temperatura de saída usando a equação de energia (aula detalhada):
Primeiro, a forma útil da equação de energia (por unidade de massa), para escoamento estacionário, sem trabalho de eixo e adiabático, é
h + \frac{V^2}{2} = \text{constante ao longo do escoamento}.
Para um gás perfeito h = c_p T, onde c_p é a capacidade calorífica a pressão constante (unidade \mathrm{J/(kg\cdot K)}). Para o ar em condições próximas de ambiente usamos
c_p \approx 1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Como V_2\approx 0, a equação entre os pontos 1 e 2 fica
c_p T_1 + \frac{V_1^2}{2} = c_p T_2 + \frac{V_2^2}{2}\approx c_p T_2.
Isolando T_2:
T_2 = T_1 + \frac{V_1^2}{2 c_p}.
Agora substituo números (tudo em unidades SI):
\frac{V_1^2}{2 c_p} = \frac{200^2}{2\times 1005} = \frac{40000}{2010} \approx 19{,}90\\ \mathrm{K}.
Portanto
T_2 = 283{,}15 + 19{,}90 = 303{,}05\\ \mathrm{K}.
Convertendo para graus Celsius:
T_2 = 303{,}05 - 273{,}15 = 29{,}90^\circ\mathrm{C}\\ (\text{aprox. }29{,}9^\circ\mathrm{C}).
Interpretação: a queda da energia cinética (200 m/s ficando praticamente zero) aquece o ar cerca de 19{,}9\\ \mathrm{K}, levando de 10^\circ\mathrm{C} a cerca de 29{,}9^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Verificação e comentários sobre aproximações (didática final):
  • Usamos o gás ideal para obter \rho; isso é adequado aqui porque p=80\\ \mathrm{kPa} e T é moderada.
  • Assumimos c_p constante e igual a 1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}; para variações de temperatura pequenas (ordem de dezenas de K) essa é uma boa aproximação.
  • Assumimos processo adiabático e sem trabalho de eixo (difusor simples) e desprezamos energia potencial — essas são hipóteses padrão para um difusor em turbomáquinas quando queremos a relação entre perda de velocidade e aumento de temperatura.
  • Resultado final é consistente fisicamente: massa de ar elevada (vazão grande) e aquecimento moderado na desaceleração.

Resposta

a) \dot m \approx 78{,}8\\ \mathrm{kg/s}
b) T_2 \approx 29{,}9^\circ\mathrm{C}

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