Um grande reservatório contém vapor d’água a uma pressão de 1400 kPa e temperatura de 300^{\circ} \mathrm{C}. Uma turbina encontra-se conectada a esse reservatório através de uma válvula e, em sequência, encontra-se um tanque inicialmente evacuado com um volume de 0,6 \mathrm{m}^{3}. Quando uma potência de emergência é necessária a válvula se abre e o vapor d’água preenche o tanque até que a pressão seja de 1500 kPa . A temperatura no tanque é então de 400^{\circ} \mathrm{C}. O processo de enchimento se dá de uma forma adiabática, e os efeitos das energias cinética e potencial são desprezíveis. Determine a quantidade de trabalho desenvolvida pela turbina, em kJ.

Passo 1

Dados fornecidos (copiados do enunciado):
P_1 = 1400\\ \mathrm{kPa},\quad T_1 = 300^\circ\mathrm{C}
V_{\text{tanque}} = 0,6\\ \mathrm{m}^3
P_2 = 1500\\ \mathrm{kPa},\quad T_2 = 400^\circ\mathrm{C}
Condições do processo (também do enunciado):
  • Processo adiabático;
  • Efeitos de energia cinética e potencial desprezíveis;
  • Tanque inicialmente evacuado (toda a massa final no tanque veio do reservatório);
  • Reservatório é grande, portanto seu estado de vapor pode ser tomado como constante em P_1,T_1.
O que o problema pede:
  • Determinar a quantidade de trabalho desenvolvida pela turbina (em kJ).

Passo 2

Escolha do método e raciocínio físico (passo-a-passo didático):
  • A turbina é um dispositivo de escoamento: para um escoamento adiabático e desprezando variações de energia cinética e potencial, a potência (ou trabalho total para uma massa m que atravessa o dispositivo) é dada pela diferença de entalpia entre entrada e saída:
W = m\,(h_1 - h_2).
Aqui h é a entalpia específica (kJ/kg), h_1 é a entalpia do vapor no reservatório (estado de entrada) e h_2 a entalpia do vapor no tanque (estado de saída).
  • A massa que passa pela turbina e fica no tanque é exatamente a massa final no tanque, pois ele estava evacuado. Então determinamos a massa final no tanque a partir do volume final e do volume específico do vapor no estado final:
m = \frac{V_{\text{tanque}}}{v_2},
onde v_2 é o volume específico do vapor no estado (P_2,T_2).
  • Para obter v_2 e a diferença de entalpias (h_1-h_2) faremos aproximações razoáveis para vapor superaquecido: usar a equação dos gases perfeitos para v_2 e assumir calor específico à pressão constante aproximadamente constante entre T_1 e T_2, de modo que
h_2-h_1 \approx c_p\,(T_2-T_1).
Justificativa: ambos os estados são superaquecidos (as temperaturas dadas 300^\circ\mathrm{C} e 400^\circ\mathrm{C} são bem maiores que as temperaturas de saturação nas pressões indicadas), então a aproximação por vapor ideal com c_p médio é uma aproximação prática e simples — suficiente para estimativa que pode ser feita à mão numa prova quando tabelas detalhadas não estão disponíveis.

Passo 3

Cálculo do volume específico v_2 no estado final usando a equação dos gases ideais:
  • Constante gasosa da água-vapor: R = 0,4615\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}.
  • Converter temperatura para Kelvin:
T_2 = 400^\circ\mathrm{C} = 400 + 273,15 = 673{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão em kPa já está em unidade compatível: P_2 = 1500\\ \mathrm{kPa}.
  • Equação dos gases (rearranjada para v):
v_2 = \frac{R\,T_2}{P_2}.
Calcule numericamente:
v_2 = \frac{0{,}4615\cdot 673{,}15}{1500} \\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
Agora a conta (fazer passo a passo):
0{,}4615\cdot 673{,}15 = 310{,}8\\ (\text{aprox.})
v_2 \approx \frac{310{,}8}{1500} = 0{,}2072\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
  • Assim a massa final no tanque é
m = \frac{V_{\text{tanque}}}{v_2} = \frac{0{,}6}{0{,}2072} \approx 2{,}896\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Cálculo da diferença de entalpias h_1-h_2 por aproximação com c_p constante:
  • Converter T_1 para Kelvin:
T_1 = 300^\circ\mathrm{C} = 573{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Diferença de temperatura:
\Delta T = T_2 - T_1 = 673{,}15 - 573{,}15 = 100\\ \mathrm{K}.
  • Escolhemos um valor razoável para o calor específico a pressão constante do vapor superaquecido na faixa 300\text{–}400^\circ\mathrm{C}. Um valor típico usado em aproximações é
c_p \approx 2{,}08\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}.
(Explicação: c_p do vapor d’água aumenta ligeiramente com a temperatura; entre 300 e 400°C um valor entre 2{,}0 e 2{,}1\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)} é normalmente aceitável para estimativas manuais.)
  • Assim a variação de entalpia é aproximada por
h_2 - h_1 \approx c_p\,(T_2-T_1) = 2{,}08\cdot 100 = 208\\ \mathrm{kJ/kg}.
Portanto
h_1 - h_2 \approx -208\\ \mathrm{kJ/kg}.
(Isto significa que o vapor no estado final tem entalpia maior que no estado inicial; em termos físicos, o vapor que chega ao tanque está mais “energético” por unidade de massa do que no reservatório.)

Passo 5

Cálculo do trabalho total produzido pela turbina:
W = m\,(h_1 - h_2).
Substituindo m e h_1-h_2:
W \approx 2{,}896\cdot (-208)\\ \mathrm{kJ} \approx -602{,}3\\ \mathrm{kJ}.
Interpretação do sinal:
  • O resultado negativo indica que a turbina, na realidade, absorveu trabalho (isto é, o dispositivo fez trabalho sobre ele) em vez de desenvolver trabalho útil. Em termos práticos: o vapor que entrou tinha menor entalpia que o vapor que saiu (o tanque ficou com vapor de entalpia maior), então energia foi fornecida ao fluido — comportamento de um compressor/máquina motora em vez de uma turbina geradora. Numericamente, o módulo é cerca de 602{,}3\\ \mathrm{kJ}.
Observação sobre aproximações:
  • Usei a hipótese de vapor ideal para v_2 e c_p constante para a variação de entalpia. Se você usar tabelas precisas de vapor superaquecido, obterá um número bem próximo; a ordem de grandeza (≈ 600\\ \mathrm{kJ}) é robusta para esses dados. Se quiser exatidão, consulte tabelas de vapor para h em P_1,T_1 e P_2,T_2 e compute W=m(h_1-h_2) com m obtido de v_2 tabelado.

Resposta

-602,3 kJ

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