3- Uma bomba de calor de Carnot utiliza R-134a como fluido de trabalho. O calor é transferido do fluido de trabalho a 40^{\circ} \mathrm{C} e durante esse processo o R-134a muda de vapor saturado para líquido saturado. Sabendo que a transferência de calor para o R-134a ocorre a 5^{\circ} \mathrm{C}.
a. Mostre este ciclo em um diagrama T-s.
b. Calcule o título no ińcio e no término do processo isotérmico a 5^{\circ} \mathrm{C}.
c. Determine o COP do ciclo.

Passo 1

Vou organizar direitinho o enunciado e os dados que temos, para não nos perdermos no desespero (tô contigo!). O enunciado dá:
  • A bomba de calor opera de forma reversível (ciclo de Carnot) entre duas temperaturas.
  • A temperatura da fonte quente é 40^\circ\mathrm{C}.
  • A temperatura da fonte fria é 5^\circ\mathrm{C}.
  • No processo isotérmico a 40^\circ\mathrm{C} o fluido de trabalho (R-134a) passa de vapor saturado para líquido saturado (ou seja: durante a rejeição de calor ele condensa completamente).
  • A transferência de calor para o R-134a (evaporação) ocorre a 5^\circ\mathrm{C}.
O que o exercício pede:
a. Mostrar o ciclo num diagrama T- s.
b. Calcular o título (qualidade) no início e no término do processo isotérmico a 5^\circ\mathrm{C}.
c. Determinar o COP (coeficiente de desempenho) do ciclo (bomba de calor).

Passo 2

Descrevendo e esboçando mentalmente o ciclo T- s de Carnot (vou te explicar passo a passo como desenhar e interpretar):
  • Um ciclo de Carnot tem duas isotermas (temperaturas constantes) e duas transformações isentrópicas (entropia constante).
  • No diagrama T- s: as isotermas são horizontais e as isentrópicas são verticais. O ciclo forma um retângulo.
  • Para a bomba de calor (queremos fornecer calor à fonte quente), o ciclo percorre-se no sentido horário: primeiro se absorve calor na isotérmica inferior (evaporação) a T_C, depois se comprime isentrópicamente até T_H, depois se rejeita calor na isotérmica superior (condensação) a T_H, e finalmente se expande isentrópicamente de volta a T_C.
  • Com os dados: isotérmica superior a T_H = 40^\circ\mathrm{C} (condensação: vapor saturado \to líquido saturado), isotérmica inferior a T_C = 5^\circ\mathrm{C} (evaporação).
  • Como desenhar: no eixo vertical coloque T e no horizontal s. Trace uma reta horizontal em T=40^\circ\mathrm{C} (dois pontos: à direita s_{g,40}, à esquerda s_{f,40}) e outra horizontal em T=5^\circ\mathrm{C} (dois pontos: s_{f,5} à esquerda e s_{g,5} à direita). Una os pontos apropriados com linhas verticais (isentrópicas). O movimento horário seguirá: ponto 1 = vapor saturado em 40^\circ\mathrm{C} (direita da isotérmica superior) \to ponto 2 = líquido saturado em 40^\circ\mathrm{C} (esquerda da isotérmica superior) [isotérmica superior: condensação]; 2 \to 3 é isentrópico para a isotérmica inferior; 3 \to 4 é isotérmico em 5^\circ\mathrm{C} (evaporação, qualidade aumenta); 4 \to 1 é isentrópico subindo a 40^\circ\mathrm{C}.
  • Observação importante que vamos usar depois: isentrópicos significam que entropia em 2 e 3 são iguais e entropia em 1 e 4 são iguais.

Passo 3

Definindo estados e condições (para ficar claro quando calculamos a qualidade):
  • Vou numerar os estados conforme o esboço do passo anterior:
    • Estado 1: início da condensação (vapor saturado) em T_H=40^\circ\mathrm{C}. Logo a qualidade em 1 é x_1=1.
    • Estado 2: fim da condensação (líquido saturado) em T_H=40^\circ\mathrm{C}. Logo x_2=0.
    • Estado 3: após expansão isentrópica a T_C=5^\circ\mathrm{C}. Aqui o fluido está numa mistura (qualidade x_3 desconhecida) — este é o início do processo isotérmico a 5^\circ\mathrm{C}.
    • Estado 4: fim da evaporação (vapor saturado) em T_C=5^\circ\mathrm{C}. Logo x_4=1.
  • Pelo caráter isentrópico entre 2 e 3, temos s_3 = s_2 = s_{f,40},onde s_{f,40} é a entropia do líquido saturado a 40^\circ\mathrm{C}.
  • Na isotérmica a 5^\circ\mathrm{C} (3 \to 4), a entropia aumenta da mistura até o vapor saturado: s_4 - s_3 = s_{g,5} - s_3.
  • Vamos relacionar essas entropias com as quantidades conhecidas das tabelas de saturação.

Passo 4

Derivação da fórmula para a qualidade inicial x_3 (passo-a-passo didático, sem pular nada):
  • Em uma mistura saturada a 5^\circ\mathrm{C}, a entropia específica é s = s_{f,5} + x\,s_{fg,5},em que:
    • s_{f,5} é a entropia do líquido saturado a 5^\circ\mathrm{C},
    • s_{g,5} é a entropia do vapor saturado a 5^\circ\mathrm{C},
    • s_{fg,5}=s_{g,5}-s_{f,5} é a diferença de entropia líquido→vapor (entropia da vaporização) a 5^\circ\mathrm{C},
    • x é a qualidade (fração mássica de vapor).
  • No estado 3, a entropia s_3 pode ser escrita como s_3 = s_{f,5} + x_3 s_{fg,5}.
  • Mas também sabemos que, por ser isentrópico 2 \to 3, s_3 = s_2 = s_{f,40}.
  • Substituindo: s_{f,40} = s_{f,5} + x_3 s_{fg,5}.
  • Rearranjando para x_3: x_3 = \frac{s_{f,40} - s_{f,5}}{s_{fg,5}}.
  • Uma forma alternativa (e muitas vezes mais direta) é escrever usando as diferenças s_{fg}: s_{g,5} - s_3 = s_{g,40} - s_{f,40},porque a variação de entropia na isotérmica a 5^\circ\mathrm{C} (de 3 até 4) deve ser igual à variação de entropia na isotérmica a 40^\circ\mathrm{C} (de 1 até 2), já que as isentrópicas não alteram entropia e o ciclo é reversível. Isso leva ao resultado simples s_{fg,5}(1-x_3) = s_{fg,40}.Reorganizando: x_3 = 1 - \frac{s_{fg,40}}{s_{fg,5}}.
  • Essa última expressão é bem prática: se você souber o s_{fg} (diferença s_g-s_f) nas duas temperaturas, obtém x_3 diretamente.

Passo 5

Obter valores de s_{fg} nas duas isotermas (uso de tabela do R-134a) e cálculo numérico do título:
  • Para calcular numericamente x_3 precisamos dos valores de s_{fg} (diferença entre entropia do vapor e do líquido saturado) nas temperaturas 5^\circ\mathrm{C} e 40^\circ\mathrm{C}. Esses valores são obtidos na tabela de propriedades saturadas do R-134a (estou usando valores de tabela).
  • Valores (obtidos da tabela saturada de propriedades do R-134a; estou listando apenas s_{fg} porque é o que usamos):
    • Para T=5^\circ\mathrm{C}: s_{fg,5} \approx 0{,}792\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    • Para T=40^\circ\mathrm{C}: s_{fg,40} \approx 0{,}448\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
      (Obs.: esses números vêm da tabela saturada do R-134a; caso você tenha outra tabela, use os mesmos s_{fg} que a sua tabela fornece.)
  • Aplicando a fórmula x_3 = 1 - \frac{s_{fg,40}}{s_{fg,5}},obtemos x_3 = 1 - \frac{0{,}448}{0{,}792} = 1 - 0{,}5657\approx 0{,}4343.
  • Portanto:
    • qualidade no início da isotérmica a 5^\circ\mathrm{C} (estado 3): \;x_3 \approx 0{,}434 (ou 43{,}4\% de vapor).
    • qualidade no término da isotérmica a 5^\circ\mathrm{C} (estado 4): \;x_4 = 1{,}000 (vapor saturado), conforme definido.

Passo 6

Cálculo do COP do ciclo (explicando a fórmula e fazendo a conta com calma):
  • O COP (coeficiente de desempenho) de uma bomba de calor que opera reversivelmente entre duas temperaturas é o COP ideal de Carnot, dado por \mathrm{COP}_{\text{Carnot}} = \frac{1}{1 - \dfrac{T_C}{T_H}} = \frac{T_H}{T_H - T_C},onde T_H e T_C são as temperaturas absolutas (Kelvin) da fonte quente e fria, respectivamente. Aqui é fundamental usar Kelvin.
  • Converter as temperaturas: T_H = 40^\circ\mathrm{C} = 40 + 273{,}15 = 313{,}15\\ \mathrm{K},
T_C = 5^\circ\mathrm{C} = 5 + 273{,}15 = 278{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Aplicando a fórmula: \mathrm{COP} = \frac{T_H}{T_H - T_C} = \frac{313{,}15}{313{,}15 - 278{,}15} = \frac{313{,}15}{35{,}00}\approx 8{,}947.
  • Arredondando de forma razoável: \mathrm{COP}\approx 8{,}95. Isso significa que, para cada unidade de trabalho mecânico fornecida ao ciclo, a bomba de calor entrega cerca de 8{,}95 unidades de calor à fonte quente — um COP bem alto porque as temperaturas não estão muito distantes.

Resposta

a) Diagrama T- s: retângulo com isotérmica superior em T=40^\circ\mathrm{C} (condensação: x=1\to x=0) e isotérmica inferior em T=5^\circ\mathrm{C} (evaporação: x\approx0{,}434\to1); isentrópicas conectando os horizontais.\n
b) x_{\text{início, }5^\circ\mathrm{C}} \approx 0{,}434í \n
x_{\text{término, }5^\circ\mathrm{C}} = 1{,}000é\n
c) \mathrm{COP}_{\text{Carnot}} = \dfrac{T_H}{T_H-T_C} = \dfrac{313{,}15}{35{,}00}\approx 8{,}95

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