• 2.10 Considere uma montagem pistão-cilindro que contém 2,5 \mathrm{~L} de um gás ideal a 30^{\circ} \mathrm{C} e 8 \mathrm{bar} . \mathrm{O} gás se expande reversivelmente a 5 bar.
    (a) Escreva um balanço de energia para esse processo (você pode desprezar variações na energia potencial e na energia cinética).
    (b) Suponha que o processo seja realizado isotermicamente. Qual é a variação de energia interna, \Delta U, para o processo? Qual é o trabalho, W, feito durante o processo? Quanto de calor é transferido, Q ? (c) Se o processo for realizado adiabaticamente (em vez de isotermicamente), a temperatura final será mais alta, igual ou mais baixa do que 30^{\circ} \mathrm{C} ? Explique.

Passo 1

O enunciado trata de um gás ideal num pistão-cilindro com V_{1}=2{,}5,L, T_{1}=30^\circC e P_{1}=8 bar que se expande reversivelmente até P_{2}=5 bar. O conteúdo é a Primeira Lei da Termodinâmica (balanço de energia), mais especificamente para processos isotérmico e adiabático reversível de gás ideal.

Passo 2

Escrevendo a Primeira Lei, desprezando energia cinética e potencial, temos
\Delta E = Q - W
mas como \Delta E=\Delta U para um sistema fechado sem \text{KE} nem \text{PE}, fica
\Delta U = Q - W
onde W é o trabalho realizado pelo sistema.

Passo 3

Para o processo isotérmico reversível de gás ideal:
  1. Como U=U(T), numa isotermia \Delta U=0.
  2. O trabalho é
W_{\rm rev} =\int_{V_{1}}^{V_{2}}P\,dV =\int_{V_{1}}^{V_{2}}\frac{nRT_{1}}{V}\,dV =nRT_{1}\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}.
Mas, por isotermia, P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2}, logo \tfrac{V_{2}}{V_{1}}=\tfrac{P_{1}}{P_{2}}. Assim
W_{\rm rev} = P_{1}V_{1}\ln\frac{P_{1}}{P_{2}} \;.
Convertendo unidades:
P_{1}V_{1} =(8\times10^{5}\,\mathrm{Pa})(2{,}5\times10^{-3}\,\mathrm{m}^3) =2{,}0\times10^{3}\,\mathrm{J}.
Como \ln\!\bigl(8/5\bigr)\approx0{,}470,
W_{\rm rev}\approx2{,}0\times10^{3}\times0{,}470 \approx9,4\times10^{2}\,\mathrm{J}.
E da Primeira Lei, Q=W.

Passo 4

Se o processo for adiabático reversível, então Q=0 e da Primeira Lei
\Delta U = -W.
Como W>0 (o gás faz trabalho ao expandir), segue \Delta U<0, ou seja a energia interna cai e, como U de gás ideal depende só de T, a temperatura final é menor que a inicial.

Resposta

(a) \displaystyle \Delta U = Q - W.
(b) \displaystyle \Delta U=0,\quad W\approx9,4\times10^{2}\,\mathrm{J},\quad Q\approx9,4\times10^{2}\,\mathrm{J}.
(c) A temperatura final em um adiabat reversível será menor que 30^\circC, pois sem calor de entrada o gás gasta energia interna para fazer trabalho.

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