2.14 Considere uma montagem pistão-cilindro que contém 1 mol de gás ideal, A. O sistema está bem isolado. Seu volume inicial é 10 L e a pressão inicial, 2 bar . Deixa-se ó gás expandir contra uma pressão externa constante de 1 bar até que ele alcance o equilíbrio mecânico. Esse é um processo reversível? Qual é a temperatura final do sistema? Quanto de trabalho foi obtido? Para o gás A: c_{\mathrm{V}}=(5 / 2) \mathrm{R}.

Passo 1

O enunciado descreve um gás ideal (1 mol, calor específico \,c_{V}=\tfrac{5}{2}R) num pistão-cilindro bem isolado (adiabático). Inicialmente \,P_{1}=2\\ \text{bar}, \,V_{1}=10\\ \text{L}. O gás expande-se até \,P_{\text{ext}}=1\\ \text{bar}, quando atinge equilíbrio mecânico P_{2}=1\\ \text{bar}. Pergunta-se se o processo é reversível, qual a temperatura final T_{2} e o trabalho obtido. Vamos usar a Primeira Lei \Delta U=Q+W, com Q=0 (adiabático), e a equação dos gases ideais.

Passo 2

Calculamos primeiro T_{1} pela equação de estado
P_{1}V_{1}=n\,R\,T_{1}.
Como n=1 mol e R=0{,}08314\\ \text{bar\cdotL\cdotmol}^{-1}\text{\cdotK}^{-1},
T_{1}=\frac{P_{1}V_{1}}{R} =\frac{2\\ \text{bar}\times10\\ \text{L}}{0{,}08314} \approx240{,}6\\ \text{K}.

Passo 3

Escrevemos a Primeira Lei para processo adiabático irreversível contra pressão externa constante:
\Delta U=n\,c_{V}(T_{2}-T_{1}) =Q+W =0+(-P_{\text{ext}}(V_{2}-V_{1})).
Como c_{V}=\tfrac{5}{2}R e P_{\text{ext}}=1\\ \text{bar},
\frac{5}{2}R\,(T_{2}-T_{1})=-\bigl(V_{2}-V_{1}\bigr).
Além disso, no estado final vale
P_{2}V_{2}=n\,R\,T_{2} \quad\Longrightarrow\quad V_{2}=R\,T_{2}.
Substituindo em cima e resolvendo para T_{2}
\frac{5}{2}R\,(T_{2}-240{,}6) =-(R\,T_{2}-10) \;\Longrightarrow\; T_{2}\approx206{,}4\\ \text{K}.

Passo 4

Com T_{2} calculado, obtemos
V_{2}=R\,T_{2} =0{,}08314\times206{,}4 \approx17{,}2\\ \text{L}.
O trabalho (positivo, feito pelo gás) é
W_{\text{out}} =P_{\text{ext}}\,(V_{2}-V_{1}) =1\\ \text{bar}\times(17{,}2-10)\\ \text{L} =7{,}2\\ \text{bar\cdotL} \approx720\\ \text{J},
pois 1\\ \text{bar\cdotL}=100\\ \text{J}.

Resposta

Não é reversível. T_{2}\approx206\\ \text{K}.
Trabalho obtido \approx720\\ \text{J}.

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