de
inicialmente a
e 50 bar será comprimido isotermicamente em um sistema pistão cilindro sem atrito até 300 bar. Passo a passo, mostre como calcular: a) volume do gás comprimido, b) Trabalho para comprimir o gás, c) Fluxo de calor na compressão. ( Lembre que tem usar a equação de PR). (2p)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
- Dados numéricos:
- Volume inicial:
. - Temperatura (constante, isotérmica):
. - Pressão inicial:
. - Pressão final:
.
- Volume inicial:
- Substância:
. Propriedades críticas e acentrismo (valores típicos usados na equação de Peng–Robinson): -
. -
. -
(parâmetro acêntrico).
-
- Constante dos gases:
.
O enunciado pede detalhadamente:
(a) volume final do gás quando comprimido isotermicamente até
;
(b) trabalho necessário para comprimir o gás (vou calcular o trabalho realizado sobre o gás, , portanto valor positivo significa energia fornecida ao gás);
(c) fluxo de calor trocado na compressão (ou seja, para o processo).
Obs.: o enunciado pede uso da equação de Peng–Robinson (PR), então vou usar a PR para obter fatores de compressibilidade , volumes molares e as integrais necessárias.
(a) volume final do gás
(b) trabalho necessário para comprimir o gás (vou calcular o trabalho realizado sobre o gás,
(c) fluxo de calor trocado na compressão (ou seja,
Obs.: o enunciado pede uso da equação de Peng–Robinson (PR), então vou usar a PR para obter fatores de compressibilidade
Passo 2
Breve resumo da equação de Peng–Robinson (PR) e como vou usá-la.
- A PR em forma de pressão para volume molar
é
onde
e
são constantes da substância e
corrige o termo atrativo com a temperatura.
- Cálculo de
e :
- Correção de temperatura
(forma usual da PR):
- É conveniente trabalhar na forma cúbica em
(fator de compressibilidade), onde . A forma cúbica PR em é
com
Resolver a cúbica para
no dado
dá o
correspondente; então
.
Vou aplicar isso em
e em
para obter
, o número de mols
a partir do estado inicial e, finalmente,
.
Passo 3
Calcular parâmetros PR (
) numericamente com os dados de
.
- Primeiro
:
-
, . -
-
Agora
e (usar em ):
(Valores numéricos arredondados com precisão suficiente para cálculos seguintes.)
Passo 4
Encontrar
(estado inicial
,
fixo) e o número de mols
.
- Calcular
e :
- A equação cúbica PR em
(para esses ) foi montada e resolvida numericamente (mostrei os coeficientes e uso um método numérico simples buscando mudança de sinal). O resultado é
- Com
obtém-se o volume molar inicial
- O número total de mols
do vaso (volume total dado) é
Substituindo números:
Passo 5
Encontrar
em
e então
.
- Calcular
e :
- Resolver a cúbica PR para
com (procura numérica). O resultado físico (raiz gasosa, T acima de ainda tem uma única raiz real física) é
- Molar volume final:
- Volume total final:
(Comentário físico: comparação grosseira com gás ideal daria
. O resultado PR é um pouco menor porque as forças intermoleculares e o comportamento não-ideal são considerados.)
Passo 6
Deduzir expressão analítica para o trabalho de compressão isotérmica usando a PR e calcular numericamente.
- Trabalho realizado sobre o gás (reversível, isotérmico) é
onde usamos
pela PR. Substituindo a forma PR e integrando em
obtemos duas integrais elementares:
(Essa expressão vem de integrar
e
; a segunda integral usa a fatoração do denominador em duas raízes e resulta num logaritmo.)
- Agora substituindo números (já temos
, , , , , , , ) chegamos ao valor numérico: - Primeiro termo:
- Segundo termo (a correção atraente):
- Somando:
(Aproximações numéricas estão apresentadas com 3 algarismos significativos; o trabalho é da ordem de
.)
Passo 7
Calcular a variação de energia interna
do gás no processo isoterma (usando PR) e, em seguida, o calor
trocado.
- Em termodinâmica geral para um gás real vale a relação de Maxwell:
- Aplicando a PR e simplificando (note que somente o termo com
depende de explicitamente na parte não-ideal), obtém-se uma forma conveniente:
- Assim a variação molar de energia interna ao mudar de
para é
Essa integral é a mesma forma logarítmica que apareceu no termo atraente do trabalho, ou seja
- Calcular
numericamente (a expressão para já dada): com os valores acima obtém-se
então
- Substituindo tudo e multiplicando por
para obter (variação total da energia interna):
(O sinal negativo indica que a energia interna total do gás diminuiu durante a compressão isotérmica — isto é possível para um gás real: ao reduzir volumes, a energia potencial de interação entre moléculas pode tornar-se mais negativa e dominar a mudança.)
- Finalmente, usar a primeira lei (com a convenção “trabalho sobre o sistema positivo”):
Substituindo números:
Interpretando o sinal:
significa que o gás liberou calor para o ambiente (ou seja, foi removida energia térmica do gás) durante a compressão isotérmica. Em módulo, a quantidade de calor removida é
.
Resposta
(a)
(b) Trabalho realizado sobre o gás (compressão reversível isotérmica)
(c) Fluxo de calor trocado no processo
(sinal negativo: calor removido do gás)