Uma planta precisa 2000 \mathrm{~cm}^{3} de uma solução anticongelante ( 30 \% \mathrm{~mol} de metanol em água). Que volumes de metanol puro e agua a 25^{\circ} \mathrm{C} devo misturar para formar os 2000 \mathrm{~cm}^{3} do anticongelante, também a 25^{\circ} \mathrm{C} ? (3p)
Os volumes molares parciais para o metanol (1) e agua(2) em uma solução com 30% mol de metanol e seus volumes molares de espécie pura a 25^{\circ} \mathrm{C} são:
\bar{V}_{1}=38,632 \mathrm{~cm}^{3} \mathrm{~mol}^{-1}, V_{1}=40,727 \mathrm{~cm}^{3} \mathrm{~mol}^{-1},
\bar{V}_{2}=17,765 \mathrm{~cm}^{3} \mathrm{~mol}^{-1}, V_{2}=18,068 \mathrm{~cm}^{3} \mathrm{~mol}^{-1},
30 \% metanol espécie purz

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (peguei todos os números do enunciado):
  • Volume final desejado da solução: V_{\text{sol}}=2000\\ \mathrm{cm}^3.
  • Composição da solução: 30\% em mol de metanol (componente 1). Ou seja, a fração molar de metanol é x_1=0,30 e a da água é x_2=0,70.
  • Volume molar parcial do metanol na solução (30% mol): \bar{V}_1=38,632\\ \mathrm{cm}^3\\ \mathrm{mol}^{-1}.
  • Volume molar parcial da água na solução (30% mol): \bar{V}_2=17,765\\ \mathrm{cm}^3\\ \mathrm{mol}^{-1}.
  • Volume molar do metanol puro a 25^\circ\mathrm{C}: V_1=40,727\\ \mathrm{cm}^3\\ \mathrm{mol}^{-1}.
  • Volume molar da água pura a 25^\circ\mathrm{C}: V_2=18,068\\ \mathrm{cm}^3\\ \mathrm{mol}^{-1}.
O que se pede: quais volumes (em \mathrm{cm}^3) de metanol puro e de água pura devo misturar, a 25^\circ\mathrm{C}, para obter 2000\\ \mathrm{cm}^3 da solução a 30\% mol de metanol.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha, passo a passo):
  • O volume total de uma solução pode ser escrito em termos dos volumes molares parciais como
V_{\text{sol}}=n_1\bar{V}_1+n_2\bar{V}_2,
onde:
  • n_1 e n_2 são os números de mols de metanol e água adicionados,
  • \bar{V}_1 e \bar{V}_2 são os volumes molares parciais dos componentes na solução (derivadas parciais de V em relação a n_i mantendo T,P,n_j constantes). Intuitivamente, \bar V_i diz quanto o volume total muda ao acrescentar 1 mol do componente i na mistura.
  • Como conhecemos a fração molar desejada x_1=\dfrac{n_1}{n_{\text{tot}}} com n_{\text{tot}}=n_1+n_2, podemos escrever n_1=x_1 n_{\text{tot}} e n_2=x_2 n_{\text{tot}}. Substituindo na expressão do volume:
V_{\text{sol}}=n_{\text{tot}}\bigl(x_1\bar{V}_1+x_2\bar{V}_2\bigr).
Dessa relação isolamos n_{\text{tot}}, que é o total de mols necessários para obter o volume pedido.
  • Depois de obter n_1 e n_2, os volumes de metanol e água a serem medidos (como líquidos puros antes da mistura) são dados pelos volumes molares do líquido puro:
V_{\text{metanol\,puro}}=n_1 V_1,\qquad V_{\text{agua\,pura}}=n_2 V_2,
onde V_1 e V_2 são os volumes molares das espécies puras fornecidos.

Passo 3

Isolar n_{\text{tot}}. A partir de
V_{\text{sol}}=n_{\text{tot}}\bigl(x_1\bar{V}_1+x_2\bar{V}_2\bigr),
segue
n_{\text{tot}}=\frac{V_{\text{sol}}}{x_1\bar{V}_1+x_2\bar{V}_2}.

Passo 4

Substituir os números e calcular n_{\text{tot}}. Primeiro calculemos o denominador com detalhes:
x_1\bar{V}_1=0,30\times38,632=11,5896\\ \mathrm{cm}^3\\ \mathrm{mol}^{-1},
x_2\bar{V}_2=0,70\times17,765=12,4355\\ \mathrm{cm}^3\\ \mathrm{mol}^{-1}.
Somando,
x_1\bar{V}_1+x_2\bar{V}_2=11,5896+12,4355=24,0251\\ \mathrm{cm}^3\\ \mathrm{mol}^{-1}.
Agora
n_{\text{tot}}=\frac{2000}{24,0251}=83,298\\ \mathrm{mol}\quad(\text{aprox.}).

Passo 5

Determinar n_1 e n_2:
n_1=x_1 n_{\text{tot}}=0,30\times83,298=24,989\\ \mathrm{mol},
n_2=x_2 n_{\text{tot}}=0,70\times83,298=58,309\\ \mathrm{mol}.

Passo 6

Calcular os volumes dos líquidos puros a serem misturados usando V_i^{\text{puro}}=n_i V_i.
Metanol puro:
V_{\text{metanol\,puro}}=n_1 V_1=24,989\times40,727=1017,74\\ \mathrm{cm}^3\quad(\text{aprox.}).
Água pura:
V_{\text{agua\,pura}}=n_2 V_2=58,309\times18,068=1053,52\\ \mathrm{cm}^3\quad(\text{aprox.}).
Observação rápida (motivacional): a soma dos volumes puros daria cerca de 1017,74+1053,52=2071,26\\ \mathrm{cm}^3, maior que os 2000\\ \mathrm{cm}^3 finais — isto é normal, porque na mistura ocorre contração de volume (os volumes molares parciais já levam isso em conta). Ou seja, medir esses volumes puros e misturar dá exatamente os 2000\\ \mathrm{cm}^3 de solução desejados.

Resposta

V_{\text{metanol puro}}=1017,74\\ \mathrm{cm}^3
V_{\text{água pura}}=1053,52\\ \mathrm{cm}^3á

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